Equazione di stato dei gas perfetti

Isoterme di un gas ideale

L'equazione di stato dei gas perfetti (o ideali), nota anche come legge dei gas perfetti, descrive le condizioni fisiche di un "gas perfetto" o di un gas "ideale", correlandone le funzioni di stato. Venne formulata nel 1834 da Émile Clapeyron. La sua forma più semplice ed elegante è:

$p\cdot V=n\cdot R\cdot T$

dove le variabili sono in ordine: la pressione, il volume, la quantità di sostanza, la costante dei gas e la temperatura assoluta. L'equazione di stato dei gas perfetti descrive bene il comportamento dei gas reali per pressioni non troppo elevate e per temperature non troppo vicine alla temperatura di liquefazione del gas. Una migliore descrizione del comportamento dei gas reali è dato dall'equazione di stato di Van der Waals.

Giustificazione empirica

L'equazione di stato dei gas perfetti è stata inizialmente formulata come sintesi dalle leggi empiriche di Avogadro, Boyle, Charles e Gay-Lussac.

Trascurando in un primo momento la legge di Avogadro, si consideri un volume di gas $V_{0}$ ad uno stato iniziale caratterizzato da:

${\begin{aligned}p_{0}&=1\ \mathrm {atm} \\t_{0}&=0\ \mathrm {^{\circ }C} \,\\\end{aligned}}$

Si consideri una trasformazione isobara (a pressione costante) applicata a questo volume di gas. Il volume alla fine della trasformazione sarà, secondo la legge di Charles:

$V=V_{0}(1+\alpha t)\,$

Il parametro $\alpha$ è detto coefficiente di dilatazione termica e ha le dimensioni dell'inverso della temperatura perché il prodotto $\alpha t$ è adimensionale. La temperatura $t$ è espressa in gradi Celsius (°C).

Se poi si fa andare il volume così ottenuto incontro ad una trasformazione isoterma otterremo, secondo la legge di Boyle-Mariotte:

$p_{0}V=pV\,\!$

ovvero:

${\begin{aligned}pV&=p_{0}V\\pV&=p_{0}V_{0}\,(1+\alpha t)\\\end{aligned}}$

Quindi la legge in questa prima forma si esprime:

$pV=MRT$

dove $R={\frac {V_{0}p_{0}}{M_{0}T_{0}}}$ è una costante caratteristica del tipo di gas, cioè il prodotto di pressione, volume e dell'inverso della temperatura assoluta è costante nelle varie trasformazioni fisiche a cui il gas perfetto venga sottoposto. Ha le dimensioni di energia per unità di massa e di temperatura

Questa formulazione, che non sfrutta la legge di Avogadro collega direttamente la densità alla pressione e alla temperatura, ma dipende implicitamente dal gas scelto, ed è necessario calcolare prima la costante caratteristica del gas in esame. Quindi è ancora utile da un punto di vista tecnico quando si devono ripetere calcoli con lo stesso gas, non quando si devono confrontare gas a diversa massa molecolare media.

La relazione che meglio descrive il comportamento di una sostanza in fase gassosa è: $pv=zRT$, dove $v$ è il volume molare e $z$ è il fattore di comprimibilità, che esprime lo scostamento del comportamento ideale da quello reale.

Formulazione semiempirica

Siccome la massa m del gas è legata alla sua quantità di sostanza n dalla massa molecolare media del gas $M$:

$m=Mn$

o sul piano locale:

$\rho =Mn$

, dove la massa molecolare media si può calcolare come media ponderata sulla composizione molecolare x (in at%):

$M=\sum _{i}x_{i}M_{i}$

allora ridefinendo una costante molare dei gas (per unità di quantità di sostanza anziché per unità di massa):

$R_{0}=MR$

si può rienunciare la relazione ottenuta come:

$pV=nR_{0}T$

Per esempio per l'aria (qui si considera per semplicità l'aria tecnica costituita da due componenti: 79 at% azoto e 21 at% ossigeno), la massa molecolare vale:

$M_{a}\simeq 0,79*28g/mol+0,21*32g/mol=28,8g/mol$

Quindi se la costante di gas ideale dell'aria vale:

$R_{a}=287J/kgK$

Si può prevedere una costante molare per l'aria pari a:

$R_{0}=28,8g/mol*287J/kgK=8,31J/molK$

In realtà Avogadro confrontando vari gas scoprì che la costante molare non dipende più neanche dal tipo di gas considerato (perciò viene chiamata costante universale dei gas): arrivò cioè empiricamente alla legge di Avogadro.

Quindi la equazione di stato dei gas ideali si riscrive tenendo conto della legge di Avogadro come:

$pV=nR_{0}T$

o in forma locale, dividendo per il volume:

$p=n_{m}R_{0}T$

in cui

• p è il valore della pressione del gas;
• V è il volume occupato dal gas;
• $n_{m}$ è la densità molare del gas;
• R₀ è la costante universale dei gas, il cui valore varia in funzione delle unità di misura adottate per esprimere le altre grandezze nell'equazione;
• T è la temperatura assoluta del gas, espressa in kelvin.

Il valore della costante universale nel Sistema internazionale è:

$R_{0}=8{,}314\,462\,618...\ \mathrm {J \over {mol\cdot K}}$

a volte nei calcoli, specialmente in chimica, si utilizza il valore (approssimato) di:

$R_{0}=0{,}0821\ \mathrm {{L\cdot atm} \over {mol\cdot K}} \,$

Infine se n_m è la densità molare (mol/m³), dividendo la densità molare per il numero di Avogadro:

$p=n_{n}{\frac {R_{0}}{N_{A}}}T\,$

si ottiene la densità numerica $n_{n}$ (in molecole/m³). In questo modo emerge una nuova costante dimensionale, detta costante di Boltzmann:

$p=n_{n}k_{B}T\,$

In questo modo nelle unità elementari si è già passati da due costanti dimensionali ad una sola. Il valore esatto è:

$k_{\mathrm {B} }=1{,}380\,649\times 10^{-23}\mathrm {\ J\,K^{-1}}$

Bibliografia

• Paolo Silvestroni, Fondamenti di chimica, 10ª ed., CEA, 1996, ISBN 88-408-0998-8.

Voci correlate

• Gas ideale
• Legge di van der Waals
• Volume molare

Collegamenti esterni

• Animazione interattiva in Java - In questa pagina è disponibile un'animazione interattiva che permette di simulare il comportamento di un gas al variare della pressione (cursore indicato con P), della temperatura (cursore T) e del numero di molecole (cursore N).