Lemma del collasso di Mostowski

Nella logica matematica, il lemma del collasso di Mostowski, noto anche come collasso di Shepherdson-Mostowski, è un teorema della teoria degli insiemi introdotto da Andrzej Mostowski nel 1949 e da John Shepherdson nel 1953.

Enunciato modifica

Si supponga che R sia una relazione binaria su una classe X tale che:

‘’R’’ sia simile ad un insieme: R⁻¹[x] = {y : y R x} è un insieme per ogni x;
R è una ben fondata: ogni sottoinsieme S non vuoto di X contiene un elemento minimo di R (ad esempio, un elemento x ∈ S tale che R⁻¹[x] ∩ S è vuoto);
R è estensionale: R⁻¹[x] ≠ R⁻¹[y] per ogni coppia di elementi distinti (x, y) di X.

Il lemma di collasso di Mostowski afferma che per ogni ‘’R’’ esiste una classe transitiva unica (possibilmente una classe propria^[1]) la cui struttura sotto la relazione di appartenenza è isomorfa a ( X , R ), e tale isomorfismo esiste unico. L’isomorfismo mappa ogni elemento x di X sull'insieme delle immagini degli elementi y di X tale che y R x (Jech 2003:69).

Generalizzazioni modifica

Ogni relazione insiemistica ben fondata può essere incorporata in una relazione estensionale insiemistica ben fondata. Ciò implica la seguente variante del lemma del collasso di Mostowski: ogni relazione insiemistica ben fondata è isomorfa all'appartenenza a insiemi definiti su una classe (non unica e non necessariamente transitiva).

Una mappatura F tale che F ( x ) = { F ( y ) : y R x } per ogni x in X può essere definita per qualsiasi relazione ben fondata di tipo insiemistico R su X mediante ricorsione ben fondata. Ciò fornisce un omomorfismo di R su una classe transitiva (non unica, in generale). L'omomorfismo F è un isomorfismo se e solo se R è estensionale.

L'ipotesi di relazione ben fondata del lemma di Mostowski può essere alleviata o del tutto rimossa al’interno di teorie degli insiemi non ben fondate. Nella teoria degli insiemi di Boffa, ogni relazione estensiva simile a un insieme è isomorfa all'appartenenza a un insieme definito su una classe transitiva (non unica). Nella teoria degli insiemi con l'assioma anti-fondazione di Aczel, ogni relazione simile a un insieme è bisimilare all'appartenenza a un insieme definito su una classe transitiva unica, quindi ogni relazione simile a un insieme bisimilare-minimo è isomorfa a una classe transitiva unica.

Applicazione modifica

Ogni modello insiemistico di Zermelo-Frenkel è simile ad un insieme ed è estensionale. Se il modello è ben fondato, allora per il lemma del collasso di Mostowski è isomorfo a un modello transitivo di ZF e tale modello transitivo è unico.

Affermare che la relazione di appartenenza di qualche modello di ZF è ben fondata è più forte che asserire che l'assioma di regolarità è vero nel modello. Infatti, esiste un modello M (assumendo la consistenza di ZF) il cui dominio ha un sottoinsieme A senza elemento minimo di R, ma questo insieme A non è un "insieme all'interno del modello" (A non appartiene al dominio del modello, sebbene tutti i suoi membri lo siano). Più precisamente, per nessun insieme A siffatto esiste x in M tale che A = R⁻¹[x]. Quindi, il modello M soddisfa l'assioma di regolarità (è “internamente” ben fondato), ma ad esso non è applicabile il lemma del collasso.

Note modifica

^ Una classe che non è un insieme

Bibliografia modifica

Thomas Jech, Set Theory, Springer Monographs in Mathematics, 3, millennium, Berlino, New York, Springer-Verlag, 2003, ISBN 978-3-540-44085-7.
Andrzej Mostowski, An undecidable arithmetical statement (PDF), in Fundamenta Mathematicae, vol. 36, n. 1, Institute of Mathematics Polish Academy of Sciences, 1949, pp. 143–164, DOI:10.4064/fm-36-1-143-164.
John Shepherdson, Inner models for set theory, Part III, in Journal of Symbolic Logic, vol. 18, Association for Symbolic Logic, 1953, pp. 145–167, DOI:10.2307/2268947.

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[1] Una classe che non è un insieme

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