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Immagine (matematica)

in matematica, sottoinsieme del codominio di una funzione
Immagine (insieme tratteggiato) all'interno del codominio.

In matematica, l'immagine di un sottoinsieme del dominio di una funzione è l'insieme degli elementi ottenuti applicando la funzione a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del codominio della funzione. L'immagine degli elementi dell'intero dominio è anche detta immagine della funzione, e se la funzione è suriettiva essa coincide col codominio.

Indice

DefinizioneModifica

Sia   una funzione. Si definisce immagine di   tramite  , o immagine di  , il sottoinsieme di   così definito:

 

ove l'uguaglianza con   sussiste se e solo se la funzione   è suriettiva.

Si tratta, quindi, di quegli elementi   di   per i quali esiste un elemento di   che venga portato in   da  .

Notare che nello scrivere   si è attuato un leggero abuso di notazione, in quanto   è una trasformazione che agisce sugli elementi di  , non su   stesso. Tale uso è però talmente diffuso che sarebbe inutile provare a combatterlo. Altre notazioni, che non provocano alcun imbarazzo formale e che trovano comunque un certo seguito, sono:   e  

Più in generale, se   è un sottoinsieme del dominio   si chiama immagine di   tramite   l'insieme:

 

Se  , si chiama immagine di   tramite   l'unico elemento   associato ad   da  .

ProprietàModifica

Considerata una funzione  , valgono le seguenti proprietà:

  •  
  • Se   allora  
  • L'immagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due immagini. In simboli:  
    • In generale:  
  • L'immagine dell'intersezione di due insiemi è contenuta nell'intersezione delle due immagini. In simboli:   e l'uguaglianza vale se la funzione   è iniettiva.
    • In generale:  
  • L'immagine della differenza di due insiemi contiene la differenza delle due immagini. In simboli:   e l'uguaglianza vale se e solo se  

Metodi di calcoloModifica

È un esercizio utile e proposto regolarmente nelle scuole quello, data una funzione, di identificare la sua immagine. Per fare questo, se non si è in grado di farlo a priori (ad esempio, è noto senza fare alcun calcolo che la funzione   ha come immagine tutta la semiretta positiva delle ordinate  , compreso lo zero), ci sono due metodi: o, con gli strumenti dell'analisi matematica, si identificano gli intervalli di monotonia e i massimi e i minimi, o, con calcoli puramente algebrici, si esplicita la   in funzione della  , trovando in pratica la funzione inversa; ad esempio, se

 

allora la sua inversa si ottiene mediante:

 

Visto che nei vari passaggi si è applicato prima un logaritmo e poi una radice quadrata, si ottengono delle restrizioni, le uniche, per la  , precisamente     e     L'intersezione di queste due condizioni dà l'immagine, poiché i valori di   risultanti possiedono, per costruzione, un valore di partenza (dato dall'espressione trovata); in questo caso, dunque, l'immagine è  

BibliografiaModifica

  • Marco Abate e Chiara de Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare. Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 8838662894.

Voci correlateModifica