Lemma di Dini

In matematica, il lemma di Dini fornisce una condizione sufficiente per ottenere la convergenza uniforme di una successione di funzioni continue convergente puntualmente ad una funzione continua ed ha svariate applicazioni nell'analisi matematica e in particolare nell'analisi funzionale.

Enunciato

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico compatto e sia $(f_{n})$ una successione di funzioni continue da $X$ in $\mathbb {R}$ tale che:

$f_{n+1}(x)\geq f_{n}(x)\qquad \forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in X$

e che:

$f_{n}(x)\to f(x)\qquad \forall x\in X$

dove $f:X\to \mathbb {R}$ è una funzione continua. Allora la successione $(f_{n})$ tende a $f$ uniformemente su $X$.

La successione $(f_{n})$ può essere supposta monotona decrescente anziché crescente, cioè $f_{n+1}(x)\leq f_{n}(x)\quad \forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in X$. Inoltre, la continuità del limite $f$ è essenziale, come risulta dal seguente semplice esempio: sia $X={[}0,1{]}\subset \mathbb {R}$ e $f_{n}(x)=x^{n}$ per $n\in \mathbb {N}$. Le ipotesi del teorema sono tutte soddisfatte (con monotonia decrescente) salvo la continuità del limite che risulta essere la funzione definita da $f(x)=0$ per $x\in {[}0,1{[}$ e $f(1)=1$. Tale funzione non è continua su $X$ e la convergenza della successione non può essere uniforme. Ricordiamo infatti che il limite uniforme di funzioni continue è necessariamente continuo.

Dimostrazione

Fissato $\varepsilon >0$, per ogni $n\in \mathbb {N}$ si definisce l'insieme:

$X_{n}^{\varepsilon }\doteq \left\{x\in X:f(x)-\varepsilon <f_{n}(x)\right\}$

Per la continuità di $f$ e di $f_{n}$ l'insieme $X_{n}^{\varepsilon }$ è aperto per ogni $n\in \mathbb {N}$, e per la monotonia della successione $(f_{n})$ si ha $X_{n}^{\varepsilon }\subseteq X_{n+1}^{\varepsilon }$ per ogni $n\in \mathbb {N}$. Inoltre, risulta:

$X=\cup _{n=1}^{\infty }X_{n}^{\varepsilon }$

poiché, fissato $x\in X$, esiste un naturale $m$, dipendente da $x$, tale che $x\in X_{m}^{\varepsilon }$.

La famiglia $\left\{X_{n}^{\varepsilon },n\in \mathbb {N} \right\}$ è pertanto un ricoprimento aperto di $X$ e, per la compattezza di $X$, esiste sottoricoprimento finito $\left\{X_{n}^{\varepsilon },n\in I\right\}$, dove $I$ è un sottoinsieme finito di $\mathbb {N}$. Detto $N$ il massimo elemento di $I$, per la proprietà di inclusione della famiglia degli insiemi $X_{n}^{\varepsilon }$, risulta $X=X_{N}^{\varepsilon }$ e ciò implica, ricordando la monotonia della successione, che:

$f(x)-\varepsilon <f_{n}(x)\leq f(x)$

per ogni $x\in X$ e per ogni $n\geq N$. Per l'arbitrarietà di $\varepsilon$ si ha la tesi.

Bibliografia

• (EN) Rudin, Walter R. (1976) Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw–Hill. Vedi il Teorema 7.13 a pagina 150 per il caso in cui la successione è decrescente.
• (EN) Bartle, Robert G. and Sherbert Donald R.(2000) Introduction to Real Analysis, Third Edition Wiley. p 238. – Presents a proof using gauges.

Voci correlate

• Spazio compatto
• Spazio metrico
• Successione di funzioni

Collegamenti esterni

• Dini, teorema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Lemma di Dini, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Lemma di Dini, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.