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Uno spazio metrico è un insieme di elementi, detti punti, nel quale è definita una distanza, detta anche metrica. Lo spazio metrico più comune è lo spazio euclideo di dimensione 1, 2 o 3.

Uno spazio metrico è in particolare uno spazio topologico, e quindi eredita le nozioni di compattezza, connessione, insieme aperto e chiuso. Si applicano quindi agli spazi metrici gli strumenti della topologia algebrica, quali ad esempio il gruppo fondamentale.

Qualsiasi oggetto contenuto nello spazio euclideo è esso stesso uno spazio metrico. Molti insiemi di funzioni sono dotati di una metrica: accade ad esempio se formano uno spazio di Hilbert o di Banach. Per questi motivi gli spazi metrici giocano un ruolo fondamentale in geometria e in analisi funzionale.

Indice

DefinizioneModifica

Uno spazio metrico è una struttura matematica costituita da una coppia   di elementi, dove   è un insieme e   una funzione distanza, detta anche metrica, che associa a due punti   e   di   un numero reale non negativo   in modo che le seguenti proprietà valgano per ogni scelta di   in  :[1]

  •  
  •  
  •  
  •  

L'ultima proprietà è detta disuguaglianza triangolare.

ProprietàModifica

Struttura topologicaModifica

Uno spazio metrico possiede naturalmente anche una struttura topologica: l'insieme delle palle aperte centrate nei vari punti avente raggio variabile fornisce infatti una sua base topologica.

Esplicitamente, un insieme sarà aperto se è l'unione di un certo numero (finito o infinito) di palle. Uno spazio metrico è perciò, quasi per definizione, uno spazio metrizzabile.

Per una funzione definita in uno spazio metrico sarà possibile dunque parlare di continuità e la definizione generale (usando le controimmagini degli aperti) potrà essere riformulata in funzione di dischi:

  è continua in   se per ogni   esiste un   tale che   implica  ,

dove   (risp.  ) rappresenta la palla nella metrica   (risp.  ). Scritta in un altro modo, questa definizione dice che:

  è continua in   se per ogni   esiste un   tale che   implica  .

Tale definizione è già molto vicina a quella usuale per funzioni reali.

Addizionalmente, uno spazio metrico è anche uno spazio uniforme, definendo un sottoinsieme   di   essere un entourage se e solo se esiste un   tale che se   allora  . La struttura uniforme generalizza quella topologica.

È possibile costruire esempi semplici di metriche topologicamente equivalenti ma con strutture uniformi distinte: basta prendere, in  ,   la metrica euclidea e  ; allora   è un entourage nella struttura uniforme data da   ma non in quella data da  . Intuitivamente, la difformità è data dalla distorsione della metrica usuale secondo una funzione non uniformemente continua.

Spazi normatiModifica

Uno spazio vettoriale normato

 

è in modo naturale anche uno spazio metrico dotato della distanza

 

Le proprietà della distanza discendono infatti da quelle della norma.

Uno spazio vettoriale munito di una seminorma genera invece una pseudometrica, cioè una funzione che può assegnare distanza nulla a punti diversi, e quindi non uno spazio metrico. Si può ovviare all'inconveniente introducendo la relazione di equivalenza ~, che identifica due punti se e solo se hanno distanza nulla. Passando dunque all'insieme quoziente

 

e definendo, se   è la pseudometrica,

 

la funzione   risulta essere, oltre che ben definita, proprio una metrica per  . Il quoziente conserva la topologia che la pseudometrica induce su   (esattamente nello stesso modo in cui lo fa una metrica), cioè   è aperto in   se e solo se   (ovvero i punti di A considerati a meno dell'equivalenza) è aperto in  .

EquivalenzeModifica

Una biiezione   tra due spazi metrici  ,   si dice

  • una isometria se   per ogni   (  e   sono isometrici).
  • una similitudine se   per qualche  , per ogni   (  e   sono simili).
  • una uniformità se è un isomorfismo tra   e   visti come spazi uniformi.
  • un omeomorfismo se è un isomorfismo tra   e   visti come spazi topologici (  e   sono omeomorfi).

Distanza tra punti e insiemi e tra insiemiModifica

Oltre alla distanza tra punti, in uno spazio metrico si possono introdurre altri concetti accessori, come la distanza tra un punto e un insieme, definita come

 

È   se e solo se   appartiene alla chiusura di  . Per questa funzione vale una versione generale della disuguaglianza triangolare, cioè

 .

Si possono definire inoltre più distanze tra insiemi.

  • Una è definita come l'estremo inferiore della distanza tra due punti dei due insiemi:
 

Questa definizione, che è molto intuitiva, si rivela però poco utile, perché è solo una parametrica simmetrica, cioè soddisfa solo la non negatività e l'"auto-distanza" nulla: due insiemi non coincidenti con intersezione non vuota o che si toccano (cioè per esempio   e  ) hanno distanza nulla.

  • Una definizione migliore è stata data da Felix Hausdorff ed è la seguente:
 ,

dove per evitare notazioni pesanti si è indicato con   l'eccedenza di   su  ;   è detta proprio distanza di Hausdorff di   da  . In generale   è solo una pseudometrica: la sua restrizione ai sottoinsiemi chiusi dello spazio metrico soddisfa però anche l'ultima proprietà mancante e la rende dunque una metrica su  , sottoclasse dell'insieme delle parti di  .

LimitatezzaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Insieme limitato.

Lo spazio metrico è la struttura più povera in cui si può cominciare a parlare di limitatezza di un insieme. Se  , allora   si dice limitato secondo la metrica presente d se esiste un raggio finito M tale che

  per qualche   in  .

Ci sono altre definizioni equivalenti, cioè:

  • ponendo per definizione   il diametro di  , se esso è un numero finito;
  • se la sua chiusura è limitata.

La nozione è però ovviamente dipendente dalla distanza che si pone sull'insieme  : se per esempio   è uno spazio illimitato con distanza  , esso ha diametro 1 nella distanza  .

Spazi metrici prodottoModifica

Se   sono spazi metrici con distanze   rispettivamente allora si può definire una metrica nel prodotto cartesiano   tra   e   come

 .

La formula può essere estesa anche per prodotti numerabili.

In generale, se   è una norma in  , allora si può definire la metrica normata nel prodotto cartesiano come

 

e la topologia generata è coerente con la topologia prodotto.

Come caso particolare, se  ,  ,   allora viene fuori che la funzione distanza   è uniformemente continua rispetto ogni metrica normata e dunque è una funzione continua rispetto alla topologia prodotto su  .

Esempi di spazi metriciModifica

  • Lo spazio euclideo con la normale nozione di distanza.
  • Un insieme qualsiasi con la distanza definita nel modo seguente: la distanza tra due punti è 1 se i punti sono diversi, 0 altrimenti; in questo caso si dice distanza discreta.
  • L'insieme delle funzioni continue nell'intervallo [0,1] è metrizzabile con la seguente metrica: date due funzioni f1, f2 della variabile x il numero   è la distanza tra esse.
  • Un sottoinsieme di uno spazio metrico si può considerare anch'esso in modo naturale uno spazio metrico: basta munirlo della opportuna restrizione della funzione distanza dello spazio di partenza. Quindi qualsiasi sottoinsieme dello spazio euclideo è un esempio di spazio metrico.
  • Ogni spazio normato è uno spazio metrico, dove la distanza tra due punti   è data dalla norma del vettore  . In questi casi si dice che la metrica è indotta dalla norma. Non vale però il viceversa, esistono cioè spazi metrici la cui metrica non può derivare da una norma, come mostra il prossimo esempio.
  • L'insieme   dei numeri reali, con la distanza data da
 

Questa distanza, diversa da quella standard, non può essere indotta da una norma, in quanto non è invariante per traslazioni (ovvero   è in generale diversa da  ), mentre tutte le distanze indotte da norme lo sono.

  • Se   è uno spazio metrico, allora è possibile definire una nuova metrica   su X tale che qualunque coppia di punti di X abbia distanza minore o uguale a 1. Basta infatti prendere
 

Si può verificare che   è ancora una metrica su X. Inoltre se X è illimitato rispetto alla metrica d, risulta avere diametro 1 nella metrica  , ovvero risulta limitato nella metrica  . La nozione di limitatezza di un insieme non è dunque un concetto "assoluto".

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 9.

BibliografiaModifica

  • Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society, 2004, SBN 978-3-03719-010-4.
  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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