Lemma di Scheffé

In matematica, il lemma di Scheffé è un risultato in teoria della misura riguardante la convergenza di successioni di funzioni integrabili .

Si afferma che, se $f_{n}$ è una successione di funzioni integrabili su uno spazio di misura $(X,\Sigma ,\mu )$ che converge quasi ovunque ad un'altra funzione integrabile $f$, allora $\int |f_{n}-f|\,d\mu \to 0$ se e solo se $\int |f_{n}|\,d\mu \to \int |f|\,d\mu$ .

Applicazioni

Applicato alla teoria della probabilità, il teorema di Scheffé, implica che la convergenza puntuale quasi ovunque delle funzioni di densità di probabilità di una successione di variabili aleatorie assolutamente continue rispetto alla misura μ implicano la convergenza in distribuzione di tali variabili aleatorie.

Bibliografia

• David Williams (1991). Probability with Martingales. New York: Cambridge University Press. p.55.
• Scheffe, Henry (September 1947). "A Useful Convergence Theorem for Probability Distributions". The Annals of Mathematical Statistics. 18 (3): 434-438. doi:10.124/aoms/1177730390