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Serie convergente

serie tale che il limite delle sue somme parziali è finito

In matematica, una serie convergente è una serie tale che il limite delle sue somme parziali è finito. Questo vuol dire che, data una successione , la serie è convergente se la successione delle somme parziali

ha un limite finito, cioè se esiste finito tale che per ogni esiste tale che per ogni

Il numero è detto somma della serie: spesso è difficile trovare questo numero, sebbene possa essere facile capire che una serie è convergente.

La somma di due serie convergenti è ovviamente ancora convergente, così come la serie prodotta dalla moltiplicazione di una serie per uno scalare; le serie convergenti formano quindi uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali.

Una serie non convergente non è necessariamente detta divergente, ad esempio la serie non è né convergente né divergente, in quanto la sua successione delle somme parziali oscilla tra i valori e e quindi non ammette limite.

Indice

EsempiModifica

  • Un esempio tipico di serie convergente è la serie geometrica di parametro  : ad esempio
     
  • Anche la somma dei reciproci dei quadrati converge (trovare il suo limite è stato il famoso problema di Basilea):
     
  • Mediante lo sviluppo in serie di Taylor è possibile mostrare che
     
  • Una serie non convergente è invece la serie dei reciproci dei numeri primi (dimostrazione):
     
dove   indica l'insieme dei numeri primi.

Assoluta convergenzaModifica

Una serie è detta assolutamente convergente se converge la serie dei valori assoluti, cioè se la serie

 

converge.

Si dimostra facilmente che una serie assolutamente convergente è convergente: infatti, se si definiscono due nuove successioni

 
 

risulta evidente che le loro serie   e   sono a termini positivi e convergono, poiché ogni loro termine è minore o uguale del corrispondente termine di  . Quindi la loro differenza è anch'essa convergente, e quindi la serie originale converge, perché  

Il viceversa non è vero: la serie

  •  

converge a  , ma la serie dei valori assoluti

  •  

è la serie armonica, che diverge.

Criteri di convergenzaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: criteri di convergenza.

Per stabilire se una serie converge o meno è possibile usare dei criteri di convergenza, che consentono spesso di stabilire velocemente il carattere di una serie (specialmente se è a termini positivi, cioè se   per ogni   sufficientemente grande) senza tuttavia permettere di calcolarne effettivamente la somma.

Il metodo principale, che viene usato per dimostrare molti altri è il criterio del confronto: se   e   sono due serie a termini positivi tali che   per ogni   sufficientemente grande e la seconda serie converge, allora converge anche la prima. Inversamente, se la prima diverge così farà la seconda.

Altri criteri molto usati sono il criterio del rapporto e il criterio della radice: nel primo si studia il comportamento della quantità  , mentre nel secondo della quantità   al tendere di   a  . In entrambi i casi, se questo limite è minore di   la serie converge, se è maggiore diverge, mentre se è uguale a   il criterio fallisce e non dà informazioni sul comportamento della serie.

Per serie a termini di segno alterno è disponibile il criterio di Leibniz, il quale afferma che se   è decrescente e tende a  , allora la serie   converge.

BibliografiaModifica

  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis. McGrawHill, 1994.
  • Michael Spivak, Calculus. Houston, Publish or Perish, 1994. ISBN 0914098896.

Voci correlateModifica

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