Limite di Laplace

In matematica, il limite di Laplace è il valore massimo dell'eccentricità per il quale è convergente una soluzione all'equazione di Keplero espressa sotto forma di serie. Il suo valore approssimato è

0,66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290.

L'equazione di Keplero

$M=E-e\sin E$

è usata in astronomia e correla l'anomalia media $M$ con l'anomalia eccentrica $E$ di un corpo che si muove attraverso una traiettoria ellittica con eccentricità $e$. Questa equazione non ha soluzioni per $E$ in termini di funzioni elementari, ma può essere espressa come una serie di potenze:

$E=M+\sin(M)\,\varepsilon +{\tfrac {1}{2}}\sin(2M)\,\varepsilon ^{2}+\left({\tfrac {3}{8}}\sin(3M)-{\tfrac {1}{8}}\sin(M)\right)\,\varepsilon ^{3}+\cdots$

Laplace comprese che questa serie converge per piccoli valori dell'eccentricità ma diverge per ogni valore di $M$ diverso da un multiplo di $\pi$ se l'eccentricità è maggiore di un dato valore che non dipende da $M$: questo valore è appunto il limite di Laplace ed è il raggio di convergenza della serie.

Il valore si ottiene come soluzione dell'equazione:

${\frac {x\exp({\sqrt {1+x^{2}}})}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}=1.$

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Limite di Laplace, su MathWorld, Wolfram Research.