Limite notevole
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Sono qui presentati alcuni limiti notevoli utilizzati per una risoluzione più veloce di limiti che possono sembrare poco immediati. Tali limiti sono anche usati nell'applicazione del principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti.
RazionaleModifica
Dimostrazione |
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Mettendo in evidenza la massima potenza del numeratore ( ) e del denominatore ( ) si ha Quindi tutti i termini relativi ai coefficienti diversi da e danno un contributo nullo al limite per , quindi
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PotenzaModifica
Dimostrazione |
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Poiché tende a possiamo tranquillamente supporre che , da cui segue e quindi: Se allora e quindi si possono utilizzare i limiti notevoli esponenziali, da cui segue che |
TrigonometriciModifica
Dimostrazione |
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Dato che è una funzione pari, è sufficiente considerare il caso x>0; inoltre, si può supporre . Per tali valori di x si ha che, considerando i reciproci, implica Moltiplicando per sin x si ottiene Quindi, dato che cos x tende all'unità per x che tende a zero, per il teorema del confronto il limite in mezzo dovrà avere lo stesso valore degli altri due. |
Dimostrazione |
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Facendo un cambio di variabile si ottiene che
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Dimostrazione |
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Sfruttando la relazione fondamentale del seno e coseno il limite diventa
Il primo termine tende a 1, il secondo termine tende a 0, quindi
Quindi il limite di partenza tende a 0 |
Dimostrazione |
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Moltiplicando il denominatore e il numeratore per abbiamo che: Ma poiché : Quindi |
Dimostrazione |
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Scriviamo la tangente sfruttando la sua definizione di rapporto tra seno e coseno dell'angolo: |
Dimostrazione |
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Per dimostrare il limite si utilizza la sostituzione di variabile: si pone : (e di conseguenza si ha ) ottenendo così: |
La dimostrazione di questo limite è analoga alla precedente.
Esponenziali e logaritmiModifica
Dimostrazione |
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Poiché la successione converge a si ha che quindi per il teorema di collegamento tra le successioni e le funzioni, considerando la funzione , con , si ha che Inoltre per calcolare si ponga (quindi per ) pertanto e ponendo (quindi per ) si ha
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Dimostrazione |
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Ponendo (quindi per ) si ha
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Dimostrazione |
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e ponendo (quindi per ) si ha |
Dimostrazione |
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Si ponga . Per si ha e per si ha . Pertanto, considerando separatamente i due limiti, si ha
Quindi
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Dimostrazione |
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Per le proprietà dei logaritmi
Ricordando che , ponendo (quindi per ) e applicando il teorema sul limite di una funzione composta si ha
Ricordando inoltre la formula del cambiamento di base dei logaritmi, si può passare alla base naturale ( )
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Deriva direttamente dal limite precedente sostituendo con (quindi diventa e ).
Dimostrazione |
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Si ponga , quindi . Inoltre per , risulta . Pertanto e ricordando che si ha che
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Deriva direttamente dal limite precedente sostituendo con (quindi diventa ).