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Limite notevole

lista di un progetto Wikimedia

Sono qui presentati alcuni limiti notevoli utilizzati per una risoluzione più veloce di limiti che possono sembrare poco immediati. Tali limiti sono anche usati nell'applicazione del principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti.

RazionaleModifica

  •  
Dimostrazione

Mettendo in evidenza la massima potenza del numeratore ( ) e del denominatore ( ) si ha

 

Quindi tutti i termini relativi ai coefficienti diversi da   e   danno un contributo nullo al limite per  , quindi

 .

PotenzaModifica

  •  
Dimostrazione

Poiché   tende a   possiamo tranquillamente supporre che  , da cui segue   e quindi:

 

Se   allora   e quindi si possono utilizzare i limiti notevoli esponenziali, da cui segue che

 

TrigonometriciModifica

  •  
Dimostrazione

Dato che   è una funzione pari, è sufficiente considerare il caso x>0; inoltre, si può supporre  . Per tali valori di x si ha

 

che, considerando i reciproci, implica

 

Moltiplicando per sin x si ottiene

 

Quindi, dato che cos x tende all'unità per x che tende a zero, per il teorema del confronto il limite in mezzo dovrà avere lo stesso valore degli altri due.

  •  
Dimostrazione

 

Facendo un cambio di variabile   si ottiene che

 

  •  
Dimostrazione

 

Sfruttando la relazione fondamentale del seno e coseno   il limite diventa

 

Il primo termine tende a 1, il secondo termine tende a 0, quindi

 

Quindi il limite di partenza tende a 0

  •  
Dimostrazione

Moltiplicando il denominatore e il numeratore per   abbiamo che:

 

Ma poiché  :

 

Quindi

 
  •  
Dimostrazione

Scriviamo la tangente sfruttando la sua definizione di rapporto tra seno e coseno dell'angolo:

 
  •  
Dimostrazione

Per dimostrare il limite si utilizza la sostituzione di variabile: si pone :   (e di conseguenza si ha   ) ottenendo così:

 
  •  

La dimostrazione di questo limite è analoga alla precedente.

Esponenziali e logaritmiModifica

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Dimostrazione

Poiché la successione   converge a   si ha che

 

quindi per il teorema di collegamento tra le successioni e le funzioni, considerando la funzione  , con  , si ha che

 

Inoltre per calcolare

 

si ponga   (quindi   per  ) pertanto

 

e ponendo   (quindi   per  ) si ha

 .
  •  
Dimostrazione

Ponendo   (quindi   per  ) si ha

 .
  •  
Dimostrazione
 

e ponendo   (quindi   per  ) si ha

 
  •  
Dimostrazione

Si ponga  . Per   si ha   e per   si ha  . Pertanto, considerando separatamente i due limiti, si ha

 .
 .

Quindi

 .
  •  
Dimostrazione

Per le proprietà dei logaritmi

 .

Ricordando che  , ponendo   (quindi   per  ) e applicando il teorema sul limite di una funzione composta si ha

 .

Ricordando inoltre la formula del cambiamento di base dei logaritmi, si può passare alla base naturale ( )

 .
  •  

Deriva direttamente dal limite precedente sostituiendo   con   (quindi   diventa   e  ).

  •  
Dimostrazione

Si ponga  , quindi  . Inoltre per  , risulta  . Pertanto

 

e ricordando che   si ha che

 .
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