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Teorema del confronto

Il teorema del confronto è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, e permette di calcolare il limite di una successione o funzione confrontando questa con altri due oggetti analoghi che "si stringono sempre di più" intorno a quello dato.

È informalmente chiamato teorema dei due carabinieri, per un'allegoria: il teorema sarebbe rappresentato da due carabinieri (due funzioni o successioni che si stringono sempre di più) che conducono in arresto un prigioniero (una funzione o successione ): questo "tende" sicuramente allo stesso punto dove tendono i carabinieri (il limite comune di e ). Sulla base di considerazioni simili, il teorema è talvolta detto anche teorema del sandwich o teorema di compressione.

SuccessioniModifica

Il teorema del confronto per le successioni asserisce che se   e   sono tre successioni di numeri reali tali che definitivamente:

 

e se si ha:

 

allora anche:

 

DimostrazioneModifica

Dalla definizione di limite di una successione, si ricava che per ogni   esistono   tali che:

 
 

Quindi per ogni   maggiore di   si ottiene:

 

Quindi per ogni   esiste un   tale che:

 

In altre parole, la successione   tende a  .

EsempiModifica

La successione:

 

è "stretta" fra le successioni:

 

poiché:

 

implica:

 

per ogni  . Entrambe   e   sono infinitesime (convergono cioè a zero), e quindi per il teorema del confronto anche   è infinitesima.

CorollarioModifica

Teoremi di confronto si possono applicare anche per i limiti infiniti. Se   sono due successioni tali che:

 

per ogni  , e se:

 

allora anche:

 

Oppure se:

 

per ogni  , e se:

 

allora anche:

 

Dimostrazione CorollarioModifica

Per ipotesi   e pertanto, dalla definizione di limite di una successione, per ogni   esiste un numero naturale   tale che   per ogni  .

Dato che   per ogni  :

si ottiene che:

 

Quindi:

 .

FunzioniModifica

Il teorema del confronto per le funzioni asserisce che, date tre funzioni   definite su un dominio   di  , e dato un punto di accumulazione   per  , se:

 

ed esiste un intorno   di   tale che:

 

allora:

 

DimostrazioneModifica

Per la definizione di limite, per ogni   esistono due intorni   e   di   tali che:

 
 

Quindi:

 

Quindi per ogni   esiste un intorno   tale che:

 

In altre parole:

 

EsempioModifica

 
Dimostrazione geometrica del limite con il teorema del confronto

Un'applicazione importante di questo teorema è la verifica del limite:

 

Si prenda come riferimento l'immagine a destra. Sia   la misura in radianti dell'arco di circonferenza di centro O e raggio unitario.

Allora:

 

Ne segue che:

 

da cui, dividendo per  :

 

prendendo i reciproci:

 

sapendo che la disuguaglianza non cambia per   e che:

 

sfruttando il teorema del confronto si ottiene:

 

BibliografiaModifica

  • G. C. Barozzi, Primo corso di analisi matematica, Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 88-080-1169-0.
  • (EN) Stewart, James (2008). Multivariable Calculus (6th ed.). pp. 909–910. ISBN 0495011630.

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