Apri il menu principale

In matematica, in particolare in algebra lineare, un minore di una matrice è il determinante di una matrice quadrata ottenibile da eliminando alcune righe e/o colonne di .

I minori sono uno strumento utile per calcolare il rango di una matrice, e quindi per risolvere i sistemi lineari.

DefinizioneModifica

Una sottomatrice di una matrice  , con   e   interi non negativi, è una matrice  , con   e   interi tali che   e  , ottenuta da   rimuovendo   righe e   colonne.

Un minore è il determinante di una sottomatrice (quadrata, cioè con  ). Il numero   è definito ordine del minore.

Un minore complementare è un minore di   ottenuto togliendo una sola riga e una sola colonna da  . Si nota subito che i minori complementari sono definiti solo per matrici   quadrate, altrimenti la matrice risultante non sarebbe più quadrata e non se ne potrebbe calcolare il determinante. Il minore complementare rispetto all'elemento   di una matrice quadrata   si ottiene togliendo l' -esima riga e la  -esima colonna e si indica con   o con  . Se il minore complementare   viene considerato con il segno   esso è detto complemento algebrico o cofattore di  .

Talvolta con "minore" si intende "sottomatrice quadrata", ma questo uso è meno comune e alcuni risultati potrebbero dover essere enunciati in modo differente. Qui e nel seguito si userà la definizione di minore come determinante.

Sia   una matrice   e siano   un sottoinsieme di   con   elementi e   un sottoinsieme di   con   elementi. Indicando con   il minore   di   che corrisponde alle righe con indice in   e colonne con indice in  :

  • Se   allora   è detto minore principale (o dominante).
  • Se si prendono ordinatamente le prime   righe e   colonne allora il minore principale è detto minore principale di guida (o minore principale di testa o minore nord-ovest). Un minore principale di guida, quindi, è un minore ottenuto togliendo le ultime   righe e colonne. Per una matrice quadrata   vi sono   minori principali di guida.
  • Per una matrice hermitiana i minori principali di guida possono essere usati per verificare se la matrice è una matrice definita positiva; si veda ad esempio il criterio di Sylvester.

ProprietàModifica

Il rango di una matrice   è uguale al massimo ordine di un minore non nullo di  . Questo risultato fornisce uno strumento frequentemente utilizzato nel calcolo del rango di una matrice, ma non è molto efficiente per matrici di con elevato numero di righe e/o colonne.

La matrice dei cofattori è un'importante matrice associata ad una matrice quadrata ed è definita a partire dai suoi minori complementari.

Data una matrice ad elementi reali   e rango  , allora esiste almeno un minore di ordine   non nullo e tutti i minori di ordine maggiore sono nulli.

EsempioModifica

Si consideri la matrice  :

 

Allora alcune delle sue sottomatrici sono:

 
 
 
 
 

I minori di ordine   sono:

 

Alcuni dei minori di ordine   sono:

 

Infine i minori di ordine  :

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica