Misura logaritmicamente concava
In matematica, una misura di Borel μ in uno spazio euclideo n-dimensionale Rn è detta logaritmicamente concava se, dati due qualunque sottoinsiemi compatti A e B di Rn e dato λ tale che , si ha
in cui λ A + (1 − λ) B denota la somma di Minkowski di λ A e (1 − λ) B.[1]
Esempi modifica
La disuguaglianza di Brunn-Minkowski asserisce che la misura di Lebesgue è logaritmicamente concava. La restrizione della misura di Lebesgue ad ogni insieme convesso è anche logaritmicamente concava.
Da un teorema di Borell,[2] si ha che una misura è logaritmicamente concava se e solo se essa ha una densità rispetto alla misura di Lebesgue su un iperpiano affine e questa densità è una funzione logaritmicamente concava. Dunque, ogni misura gaussiana è logaritmicamente concava.
La disuguaglianza di Prékopa-Leindler mostra che la convoluzione di misure logaritmicamente concave è logaritmicamente concava.
Note modifica
- ^ A. Prékopa, Logarithmic concave measures and related topics, in Stochastic programming (Proc. Internat. Conf., Univ. Oxford, Oxford, 1974), London-New York, Academic Press, 1980, pp. 63–82, MR 0592596.
- ^ Borell, C., Convex set functions in d-space, in Period. Math. Hungar., vol. 6, n. 2, 1975, pp. 111–136, DOI:10.1007/BF02018814, MR 0404559.
