Funzione logaritmicamente concava

funzione matematica

In analisi convessa, una funzione non negativa è logaritmicamente concava se il suo dominio è un insieme convesso e se soddisfa la disuguaglianza

per ogni e . Se è strettamente positiva, ciò è equivalente a dire che il logaritmo della funzione, ossia , è una funzione concava; quindi,

per ogni e .

Esempi di funzioni logaritmicamente concave sono le funzioni indicatrici 0-1 di insiemi convessi (che richiedono la definizione più flessibile) e la funzione gaussiana.

Analogamente, una funzione è logaritmicamente convessa se soddisfa la disuguaglianza opposta

per ogni e .

ProprietàModifica

  • Una funzione logaritmicamente concava positiva è anche una funzione quasi-concava.
  • Ogni funzione concava che è non negativa sul suo dominio è logaritmicamente concava. Tuttavia, non vale necessariamente il viceversa. Un esempio è la funzione gaussiana   che è logaritmicamente concava poiché   è una funzione concava di  . Ma   non è concava poiché la sua derivata seconda è positiva per  :
 
  • Una funzione non negativa, due volte differenziabile, con un dominio convesso è logaritmicamente concava se e solo se per ogni   tale che  ,
 ,[1]
ossia
  è
semi-definita negativa. Per funzioni di una variabile, questa condizione si riduce a
 

Operazioni che conservano la concavità logaritmicaModifica

  • Prodotto: Il prodotto di funzioni logaritmicamente concave è anch'esso una funzione logaritmicamente concava. Infatti, se   e   sono funzioni logaritmicamente concave, allora   e   sono concave per definizione. Perciò
 
è concava e quindi anche   è logaritmicamente concava.
  • Marginalizzazione: Se   è logaritmicamente concava, allora
 
è logaritmicamente concava (vedere disuguaglianza di Prékopa-Leindler).
  • Ciò implica che la convoluzione conserva la concavità logaritmica, poiché   è logaritmicamente concava se   e   sono logaritmicamente concave, e perciò
 
è logaritmicamente concava.

Distribuzioni logaritmicamente concaveModifica

Le distribuzioni logaritmicamente concave sono necessarie per un certo numero di algoritmi, ad esempio adaptive rejection sampling.

Come è noto, molte distribuzioni di probabilità comuni sono logaritmicamente concave. Alcuni esempi:[2]

Notiamo che tutte le restrizioni sui parametri hanno la stessa motivazione di base: l'esponente di una quantità non negativa deve essere non negativo in modo che la funzione sia logaritmicamente concava.

Le seguenti distribuzioni sono non logaritmicamente concave per ogni scelta dei parametri:

Notare che la funzione cumulativa di tutte le distribuzioni logaritmicamente concave è anch'essa logaritmicamente concava. Tuttavia, alcune distribuzioni non logaritmicamente concave pure hanno funzioni cumulative logaritmicamente concave:

Le seguenti sono alcune tra le proprietà delle distribuzioni logaritmicamente concave:

  • se la densità è logaritmicamente concava, tale è la sua funzione cumulativa;
  • se una densità multivariata è logaritmicamente concava, tale è la densità marginale su ogni sottoinsieme di variabili.
  • la somma di due variabili casuali logaritmicamente concave indipendenti è logaritmicamente concava; ciò segue dal fatto che la convoluzione di due funzioni logaritmicamente concave è logaritmicamente concava;
  • il prodotto di due funzioni logaritmicamente concave è logaritmicamente concavo; ciò significa che le densità congiunte ottenute moltiplicando due densità di probabilità (ad esempio la normal-gamma distribution, che ha sempre un parametro di forma >= 1) saranno logaritmicamente concave. Questa proprietà è molto usata nei programmi per i general-purpose basati sul campionamento di Gibbs, quali BUGS e JAGS, che, in tal modo, sono in grado di utilizzare adaptive rejection sampling su una grande varietà di distribuzioni condizionate derivanti dal prodotto di altre distribuzioni.

NoteModifica

  1. ^ Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex Optimization (PDF) p.105
  2. ^ See Mark Bagnoli and Ted Bergstrom (1989), "Log-Concave Probability and Its Applications", University of Michigan.[1]
  3. ^ a b András Prékopa (1971), "Logarithmic concave measures with application to stochastic programming". Acta Scientiarum Mathematicarum, 32, pp. 301–316.

BibliografiaModifica

  • Ole Barndorff-Nielsen, Information and exponential families in statistical theory, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics, Chichester, John Wiley \& Sons, Ltd., 1978, pp. ix+238 pp., ISBN 0-471-99545-2, MR 489333.
  • Sudhakar Dharmadhikari e Kumar Joag-Dev, Unimodality, convexity, and applications, Probability and Mathematical Statistics, Boston, MA, Academic Press, Inc., 1988, pp. xiv+278, ISBN 0-12-214690-5, MR 954608.
  • Johann Pfanzagl e with the assistance of R. Hamböker, Parametric Statistical Theory, Walter de Gruyter, 1994, ISBN 3-11-013863-8, MR 1291393.
  • Josip E. Pečarić, Frank Proschan e Y. L. Tong, Convex functions, partial orderings, and statistical applications, Mathematics in Science and Engineering, vol. 187, Boston, MA, Academic Press, Inc., 1992, pp. xiv+467 pp., ISBN 0-12-549250-2, MR 1162312.

Voci correlateModifica

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