In matematica , il nucleo di Fejér è un'approssimazione dell'identità sul toro e viene applicato allo studio della serie di Fourier , come un'approssimazione all'identità dell'operatore di Fourier. Prende il nome dal matematico ungherese Lipót Fejér (1880 – 1959).
Grafico di nuclei di Fejér per differenti n.
Il nucleo di Fejér è definito come
F
n
(
x
)
=
1
n
∑
k
=
0
n
−
1
∑
|
j
|
≤
k
e
i
j
x
{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{\vert j\vert \leq k}e^{ijx}}
Esso può anche essere espresso nel seguente modo:
F
n
(
x
)
=
1
n
(
sin
n
x
2
sin
x
2
)
2
=
1
n
(
1
−
cos
(
n
x
)
1
−
cos
x
)
{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\left({\frac {\sin {\frac {nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\left({\frac {1-\cos(nx)}{1-\cos x}}\right)}
dove tale espressione è derivata dalla definizione classica, o nella forma
F
n
(
x
)
=
∑
|
k
|
≤
n
−
1
(
1
−
|
k
|
n
)
e
i
k
x
.
{\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{|k|\leq n-1}\left(1-{\frac {|k|}{n}}\right)e^{ikx}.}
Essendo un'approssimazione dell'identità sul toro , esso soddisfa le seguenti proprietà:
|
|
F
N
|
|
1
≤
M
{\displaystyle ||F_{N}||_{1}\leq M}
M
<
∞
{\displaystyle M<\infty }
∫
−
π
π
F
n
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(x)dx=1}
∫
δ
≤
|
x
|
≤
π
F
n
(
x
)
d
x
⟶
0
per
n
⟶
+
∞
{\displaystyle \int _{\delta \leq \vert x\vert \leq \pi }F_{n}(x)dx\longrightarrow 0\ \ {\text{per}}\ \ n\longrightarrow +\infty }
Per
f
≥
0
{\displaystyle f\geq 0}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
0
≤
(
f
∗
F
n
)
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
y
)
F
n
(
x
−
y
)
d
y
.
{\displaystyle 0\leq (f*F_{n})(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)F_{n}(x-y)\,dy.}
‖
F
n
∗
f
‖
L
p
(
[
−
π
,
π
]
)
≤
‖
f
‖
L
p
(
[
−
π
,
π
]
)
{\displaystyle \|F_{n}*f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}\leq \|f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}}
1
≤
p
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
per
f
∈
L
p
{\displaystyle f\in L^{p}}
Inoltre, se
f
∈
L
1
(
[
−
π
,
π
]
)
{\displaystyle f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])}
f
∗
F
n
→
f
{\displaystyle f*F_{n}\rightarrow f}
Poiché
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
L
1
(
[
−
π
,
π
]
)
⊃
⋯
⊃
L
p
(
[
−
π
,
π
]
)
⊃
⋯
⊃
L
∞
(
[
−
π
,
π
]
)
{\displaystyle L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{p}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])}
L
p
{\displaystyle L^{p}}
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
Hoffman, Kenneth (1988). Banach Spaces of Analytic Functions . Dover. p. 17. ISBN 0-486-45874-1. DOI https://doi.org/10.1007/BFb0069197 .
Konigsberger, Konrad. Analysis 1 (in German) (6th ed.). Springer. p. 322. 
![{\displaystyle \|F_{n}*f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}\leq \|f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31328c14ab3f4d6ce74b77efca4e3465dd1c4e9)
![{\displaystyle f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3515a00783d75e503eb19294f26d84c49402fe)
![{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
![{\displaystyle L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{p}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d730d8075617dd893fb0a71d866ccfb469f5c3)
