Toro (geometria)

superficie a forma di ciambella

In geometria il toro (dal latino torus, cuscino a forma di ciambella) è una superficie di rotazione ottenuta dalla rivoluzione di una circonferenza in uno spazio tridimensionale intorno a un asse ad essa complanare.

Torus2.png

Il toro nella geometria euclideaModifica

Rappresentazione mediante equazioni parametricheModifica

 

Una rappresentazione parametrica del toro, nell'usuale spazio euclideo tridimensionale, è data da:[1]

 

dove   è la distanza dal centro del tubo al centro del toro,   è il raggio del tubo e   e   variano in  

L'equazione in coordinate cartesiane, che individua un toro il cui asse di simmetria coincide con l'asse   è data da:

 

Proprietà metricheModifica

L'area esterna e il volume del toro sono dati rispettivamente da:[2]

 
 

I risultati derivano direttamente dai due teoremi di Pappo-Guldino.[3]

Topologia del toroModifica

CostruzioneModifica

 

Un toro topologico è uno spazio topologico omeomorfo ad un toro nello spazio euclideo. Esso può essere definito come il prodotto di due circonferenze   Le equazioni parametriche che abbiamo dato per il toro in   individuano un omeomorfismo con l'insieme  

 

Un modo equivalente per costruire un toro topologico è quello di considerare un quadrato e "incollare" i lati opposti. Questo corrisponde a definire sul quadrato

 

la relazione di equivalenza   tale che   se e solo se   è un unico punto interno oppure   e   sono su due lati opposti ed hanno una coordinata uguale. Con questa relazione di equivalenza si può definire lo spazio quoziente   che è appunto un toro topologico.

Un ulteriore modo per definire il toro topologico è quello di costruire lo spazio quoziente del   rispetto al sottogruppo  

Proprietà topologicheModifica

 
Suddivisione del toro che richiede 7 colori

Il toro solidoModifica

Il toro solido è l'oggetto tridimensionale delimitato dal toro (toro incluso).[6] Si tratta cioè della porzione di spazio contenuta all'interno del toro inclusa la parte di spazio che la delimita. Topologicamente, si tratta di uno spazio omeomorfo al prodotto   del disco bidimensionale[7]

 

con la circonferenza  . Si tratta di una 3-varietà con bordo; il bordo consiste appunto nel toro. Il suo gruppo fondamentale è   Si tratta infine del corpo con manici avente genere 1.

Il toro solido è un oggetto importante nello studio delle 3-varietà e più in generale nella topologia della dimensione bassa.

NoteModifica

  1. ^ Equations for the Standard Torus, su geom.uiuc.edu, 6 luglio 1995. URL consultato il 21 luglio 2012 (archiviato dall'url originale il 29 aprile 2012).
  2. ^ Eric W. Weisstein, Torus, su: mathworld
  3. ^ A. W. Goodman e G. Goodman, Generalizations of the Theorems of Pappus, su JSTOR, The American Mathematical Monthly. URL consultato il 26 dicembre 2015.
  4. ^ Euler characteristic, su: nLab.
  5. ^ Kenneth Appel, Wolfgang Haken, Solution of the Four Color Map Problem, Scientific American, vol. 237 n. 4 pp. 108–121.
  6. ^ Kenneth Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, 2nd, John Wiley & Sons, 2004, p. 198, ISBN 9780470871355.
  7. ^ Yukio Matsumoto, An Introduction to Morse Theory, Translations of mathematical monographs, vol. 208, American Mathematical Society, 2002, p. 188, ISBN 9780821810224.

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