Nucleo di Dirichlet

In analisi matematica, il nucleo di Dirichlet è la famiglia di polinomi trigonometrici definita da

È così chiamata in onore di Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Grafico dei primi 35 termini del nucleo. Si può notare la convergenza alla distribuzione delta di Dirac.

Criterio di convergenza per serie di FourierModifica

Il nucleo di Dirichlet trova ampia applicazione nella teoria delle serie di Fourier. La convoluzione di Dn(x) con qualsiasi funzione ƒ di periodo   è pari all' approssimazione in serie di Fourier di ƒ troncata all' n-esimo termine, cioè si ha

 

dove

 

è il k-esimo coefficiente di Fourier di ƒ.

Questo fatto può essere utile nello studio della convergenza puntuale dello sviluppo di Fourier di una funzione periodica. Infatti posto   si ha, usando il risultato precedente,

 

Tale espressione vale in particolare anche per la funzione costante   per la quale tutti i coefficienti della serie di Fourier sono nulli tranne quello per cui   che vale  . Si vede quindi che per tale funzione costante vale

 

(Ciò è facilmente verificabile anche integrando termine a termine la serie trigonometrica che definisce il nucleo di Diriclet).

Se ora vogliamo verificare le condizioni per cui la serie di Fourier di f converga puntualmente in un punto   dobbiamo studiare il comportamento del resto n-esimo

 

ossia

 

Grazie al lemma di Riemann-Lebesgue sappiamo che una condizione sufficiente affinché il resto n-esimo si annulli per   è che   sia integrabile in  . A partire da questo risultato si può dimostrare facilmente la condizione di convergenza del Dini per le serie di Fourier[1].

Relazione con la delta di DiracModifica

Si può definire la distribuzione delta di Dirac periodica in modo tale che si abbia

 

per ogni funzione ƒ di periodo  . La rappresentazione in serie di Fourier di questa funzione generalizzata è

 

Per cui il nucleo di Dirichlet può essere visto come un'approssimazione di tale distribuzione.

Dimostrazione dell'identità trigonometricaModifica

L'identità trigonometrica

 

può essere dimostrata nel modo seguente. Ricordando che la somma di una progressione geometrica è

 

Abbiamo in particolare che

 

Moltiplicando sia numeratore che denominatore per r−1/2 abbiamo

 

Ora se r = eix troviamo

 

che era quello che volevamo dimostrare.

NoteModifica

  1. ^ Cosenza, Guido., Metodi matematici della fisica, Bollati Boringhieri, 2004-2006, ISBN 8833957381, OCLC 799708994.

BibliografiaModifica

  • Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 0-13-458886-X0-13-458886-X, S.620 (vollständige Online-Version (Google Books))
  • Podkorytov, A. N. (1988), "Asymptotic behavior of the Dirichlet kernel of Fourier sums with respect to a polygon". Journal of Soviet Mathematics, 42(2): 1640–1646. doi: 10.1007/BF01665052
  • Levi, H. (1974), "A geometric construction of the Dirichlet kernel". Transactions of the New York Academy of Sciences, 36: 640–643. doi: 10.1111/j.2164-0947.1974.tb03023.x
  • Dirichlet-Kernel at PlanetMath[collegamento interrotto]

Collegamenti esterniModifica

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