Somma di Cesaro

In matematica, e più precisamente in analisi, la somma di Cesàro è una definizione alternativa di somma di una serie, che coincide con quella usuale quando la serie è convergente. Fu introdotta dal matematico Ernesto Cesaro alla fine del secolo XIX.

DefinizioneModifica

Data una serie

 

con somme parziali

 

la somma di Cesàro è il limite (quando esiste) della media aritmetica delle somme parziali

 

Teorema della media di CesaroModifica

Il teorema delle medie di Cesaro permette di calcolare il limite della successione delle medie di una successione  , noto il limite di  . La successione delle medie di   si definisce come:

 

Il teorema della media di Cesaro afferma che se   ammette limite, allora

 

DimostrazioneModifica

Poniamo  ,   e sia  . Notiamo che se fosse   allora si avrebbe

 

Tuttavia ciò non è vero sempre, ma lo sarà per  , per un certo  . Spezziamo dunque la somma da   a   e da   a  :

 

Riunendo le somme come in precedenza e applicando la disuaguaglianza triangolare otteniamo:

 

Richiamando   e riordiando otteniamo

 

dove la quantità in parentesi è indipendente da  , per cui il secondo addendo tende a   per  . Per l'arbitrarietà di   si ha dunque

 

Cioè   se  

ProprietàModifica

Se la serie è convergente, la somma di Cesàro coincide con la somma della serie; la somma di Cesàro infatti non dipende da alcuna somma parziale di indice finito. Questo significa formalmente che, per   tendente all'infinito

 

per ogni intero   finito. L'operazione svolta dunque è quella di mediare solo le somme delle serie di indice molto elevato: se la serie converge è evidente che il risultato sarà semplicemente la somma infinita della serie. La somma di Cesàro è però definita anche per alcune serie non convergenti; ad esempio, se

  (serie di Grandi)

la serie non ammette limite, ma per convenzione si può considerare come valore limite quello medio delle due sottosuccessioni estratte, per   pari e per   dispari, che è -0,5. La somma di Cesàro  -esima in questo caso è data da

 

il cui limite è 0. Questo esempio dimostra che il teorema di Cesàro non è invertibile.

Questo teorema può essere ricavato dal teorema di Stolz-Cesàro ponendo   e  .

BibliografiaModifica

  • (EN) Bruce Watson, Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford University Press, New York, 1994. ISBN 0-19-853585-6.

Voci correlateModifica

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