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In analisi funzionale l'aggiunto di un operatore, chiamato anche operatore hermitiano aggiunto o dagato, generalizza il trasposto coniugato di una matrice quadrata al caso infinito dimensionale e il concetto di complesso coniugato di un numero complesso. Ogni operatore lineare limitato su uno spazio di Hilbert ha un corrispondente operatore aggiunto.

Se A è un operatore, l'aggiunto di A si scrive A* o A (l'ultimo soprattutto nella notazione bra-ket).

Indice

DefinizioneModifica

La definizione di operatore aggiunto si diversifica a seconda che ci si trovi in uno spazio di Hilbert o in uno spazio di Banach.

Spazio di BanachModifica

Siano   e   spazi di Banach e   un operatore lineare continuo, e quindi limitato. Si definisce operatore aggiunto di   l'operatore lineare limitato   definito dalla relazione:[1]

 

dove l'asterisco denota lo spazio duale.

La mappa che associa un operatore lineare limitato al suo aggiunto è un isomorfismo isometrico tra lo spazio degli operatori lineari limitati da   a   allo spazio degli operatori lineari limitati da   a  .[2] Se la dimensione dello spazio è infinita, tale mappa è continua sia nella topologia operatoriale debole, sia in quella uniforme (indotta dalla norma). Se la dimensione è finita, la mappa è continua solo nella topologia operatoriale forte.[3]

Spazio di HilbertModifica

Sia   uno spazio di Hilbert, con prodotto hermitiano  , e sia   un operatore lineare continuo in  . Per ogni   di   si definisce il funzionale lineare:

 

tale che:

 

per ogni   di  . Si tratta di un operatore continuo poiché   è continuo e così pure il prodotto hermitiano.

Se l'operatore è limitato il teorema di rappresentazione di Riesz afferma che esiste un unico elemento   tale che:[4]

 

Si definisce aggiunto di A l'unico operatore A* tale che:[5]

 

ovvero:

 

Se M è la matrice che rappresenta   rispetto ad una base di  , la matrice che rappresenta   rispetto alla stessa base è la matrice trasposta complessa coniugata di M.[5]

Vale inoltre il teorema che se l'operatore   è aggiunto di   allora:

 

L'operatore aggiunto   è dunque tale che:

 

La sua esistenza per gli operatori limitati è garantita dal teorema di Riesz, ed ha la proprietà di essere anch'esso un operatore limitato:

 

dalla quale si ha che:

 

Se   si dice che tale operatore è autoaggiunto o hermitiano, e si ha:[6]

 

Operatori non limitatiModifica

Nel caso di operatori non limitati il teorema di rappresentazione di Riesz perde di validità. In tal caso è possibile definire l'operatore aggiunto di operatori densamente definiti, ovvero gli operatori tali per cui la chiusura del dominio coincide con l'intero spazio vettoriale.

Sia   uno spazio di Hilbert con prodotto hermitiano   e sia   un operatore lineare densamente definito in  . Sia   l'insieme di tutti gli elementi   tali per cui esiste   tale che:

 

Per ogni   si definisce aggiunto di   l'operatore   tale che:[7]

 

ovvero:

 

Il lemma di Riesz permette inoltre di concludere che   se e solo se:

 

ProprietàModifica

L'aggiunto gode delle seguenti proprietà:[6]

  •  
  • Se A è invertibile, lo è anche A* e si ha:
 
  •   se A o B sono limitati
  • Se   è un numero complesso si ha:
 
  •  

Inoltre, la relazione tra l'immagine di   ed il nucleo dell'aggiunto è data da:

 

Infatti:

 

ed inoltre:

 

che segue dalla prima considerando lo spazio ortogonale per entrambi i membri. L'immagine non è necessariamente un insieme chiuso, mentre lo è il nucleo di un operatore continuo.

Spettro dell'operatore aggiuntoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spettro (matematica).

Lo spettro   ed il risolvente   di un operatore   definito su uno spazio di Banach coincidono con quelli del suo aggiunto, mentre in uno spazio di Hilbert si ha che:

 

Se   appartiene allo spettro residuo di  , allora   appartiene allo spettro puntuale dell'aggiunto  . Se invece   appartiene allo spettro puntuale di  , allora esso appartiene sia allo spettro puntuale e sia allo spettro residuo di  .[8]

Inoltre, se   è autoaggiunto su uno spazio di Hilbert si ha:

  •   non ha spettro residuo.
  • Lo spettro   è un sottoinsieme di  ,ovvero gli autovalori sono reali.
  • Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.

NoteModifica

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 185.
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 186.
  3. ^ Reed, Simon, Pag. 187.
  4. ^ S. Lang, Pag. 197.
  5. ^ a b S. Lang, Pag. 198.
  6. ^ a b S. Lang, Pag. 199.
  7. ^ Reed, Simon, Pag. 252.
  8. ^ Reed, Simon, Pag. 194.

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlateModifica