Permanente (matematica)

In matematica, il permanente di una matrice quadrata $A$ di ordine $n$, di elementi $a_{ij}$ è definito come

$\operatorname {perm} (A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma _{i}},$

dove $\sigma _{i}$ rappresenta una permutazione, ovvero un elemento del gruppo simmetrico $S_{n}$. La definizione ricorda quella molto simile di determinante: ci sono gli stessi addendi, ma con l'unica differenza che nel determinante sono alcuni col segno più e altri col segno meno, nel permanente sono tutti col segno più. Di fatto, come quest'ultimo, il permanente è un caso particolare di immanente, una più generale operazione su matrici di ordine $n$.

Al contrario del determinante, il permanente non ha una semplice interpretazione geometrica. Esso è usato principalmente in combinatoria e nello studio dei bosoni.

Proprietà

Considerando il permanente come una funzione i cui argomenti sono $n$ vettori, esso è una applicazione multilineare ed è simmetrica.

Sia $A$ una matrice quadrata di ordine $n$ si ha:

• $\operatorname {perm} (A)$ è invariante rispetto a permutazioni arbitrarie di righe o colonne di $A$;
• moltiplicando una riga o una colonna di $A$ per uno scalare $\lambda$ anche il permanente viene moltiplicato per $\lambda$;
• $\operatorname {perm} (A)$ è invariante rispetto alla trasposizione, cioè $\operatorname {perm} (A^{T})=\operatorname {perm} (A)$.

Se $A=(a_{ij})$ e $B=(b_{ij})$ sono matrici quadrate di ordine $n$, allora

$\operatorname {perm} (A+B)=\sum _{I,J}\operatorname {perm} (a_{ij})_{i\in I,j\in J}\operatorname {perm} (b_{ij})_{i\in {\bar {I}},j\in {\bar {J}}},$

dove $I$ e $J$ sono sottoinsiemi di $\{1,2,\ldots ,n\}$ che hanno la stessa cardinalità e ${\bar {I}}$ e ${\bar {J}}$ sono i rispettivi complementari in tale insieme.

D'altra parte la proprietà moltiplicativa del determinante non è soddisfatta dal permanente. Ad esempio:

$4=\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\neq \operatorname {perm} \left(\left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\right)=\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}2&2\\2&2\end{matrix}}\right)=8.$

Per il calcolo del permanente è valida una formula simile allo sviluppo di Laplace del determinante, in cui tutti i segni dei minori sono positivi. Per esempio, sviluppando lungo la prima colonna la seguente matrice si ha

${\begin{aligned}\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1&1\\2&1&0&0\\3&0&1&0\\4&0&0&1\end{matrix}}\right)&=1\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)+2\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)+\ 3\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\1&0&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)+4\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{matrix}}\right)=\\&=1(1)+2(1)+3(1)+4(1)=10,\end{aligned}}$

mentre sviluppando rispetto all'ultima riga si ha

${\begin{aligned}\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1&1\\2&1&0&0\\3&0&1&0\\4&0&0&1\end{matrix}}\right)&=4\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{matrix}}\right)+0\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\2&0&0\\3&1&0\end{matrix}}\right)+\ 0\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\2&1&0\\3&0&0\end{matrix}}\right)+1\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\2&1&0\\3&0&1\end{matrix}}\right)=\\&=4(1)+0+0+1(6)=10.\end{aligned}}$

Applicazioni

In meccanica quantistica, in sistemi a molti bosoni, il permanente può essere utilizzato per determinare uno stato completamente simmetrico che descriva una particolare configurazione del sistema, in modo del tutto analogo al determinante di Slater per i sistemi a molti fermioni.

Voci correlate

• Determinante (algebra)
• Funzione simmetrica

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Permanente, su MathWorld, Wolfram Research.