In matematica, la matrice trasposta di una matrice è la matrice ottenuta scambiandone le righe con le colonne. Fu introdotta nel 1858 dal matematico britannico Arthur Cayley.[1]

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DefinizioneModifica

La trasposta di una matrice   è la matrice   il cui generico elemento con indici   è l'elemento con indici   della matrice originaria. In simboli:

 

con   lo spazio vettoriale delle matrici di dimensione n. In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.

L'operazione di trasposizione è definita sia su matrici quadrate che rettangolari, e quindi anche su vettori. In particolare, un vettore colonna trasposto è un vettore riga, e viceversa.

Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta matrice simmetrica, e deve essere una matrice quadrata. Uno scalare può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica 1 × 1, ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici   e   di dimensioni opportune si abbia che:

 

l'operatore di trasposizione è lineare, ovvero, dati due scalari   ed  , vale:

 

Più in generale, dati N scalari   ed N matrici   di pari dimensioni, vale:

 

dove   indica una sommatoria.

ProprietàModifica

Valgono le seguenti proprietà:

  • La trasposta della trasposta è la matrice stessa:
 
  • La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte:
 
  • L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione:
 
Questo risultato è facilmente estendibile al caso più generale, dove si considerano più matrici:
 
  • Se   è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato:
 
  • Nel caso di matrici quadrate, il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale:
 
  • Il prodotto scalare tra due vettori colonna   e   può essere calcolato come:
 
che può essere scritto usando la notazione di Einstein come  .
  • Se   ha solamente elementi reali, allora   è una matrice simmetrica semidefinita positiva.
  • La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale: 
  • Se   allora la   è una matrice ortogonale
  • Se   è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.

Trasposta di applicazioni lineariModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio duale e Base duale.

Se   e   sono due spazi vettoriali di dimensione finita sullo stesso campo e   è un'applicazione lineare, si può definire l'applicazione duale di   come la mappa   tra gli spazi duali   e   definita da:

 

Fissate due basi   e   di   e   rispettivamente, si dimostra che se   è la matrice associata a   rispetto tali basi allora la matrice associata a   rispetto alle basi duali di   e di   è la trasposta di  .

Ogni applicazione lineare   che mappa nello spazio duale definisce una forma bilineare   mediante la relazione:

 

Definendo la trasposta di tale funzione come la forma bilineare   data dalla mappa trasposta  :

 

si trova che  .

EsempiModifica

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Idea di calcolo: ruotare la matrice di 90° in senso antiorario, dopodiché scambiare la prima riga con l'ultima, la seconda con la penultima, ecc. (nel primo esempio, dopo aver ruotato la matrice   di 90°, la riga 2 rimane invariata, mentre la riga 1 e 3 vengono scambiate).

Alternativamente: immaginare un asse diagonale che parte dal primo elemento in alto a sinistra e prosegue verso il basso, verso destra (45°); dopodiché "riflettere a specchio" la matrice usandolo come asse di simmetria.

NoteModifica

  1. ^ Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17-37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.

BibliografiaModifica

  • (EN) F.R. [F.R. Gantmakher] Gantmacher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reprint (1959) pp. 19

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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