Applicazione multilineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una applicazione multilineare è una funzione che generalizza il concetto di applicazione lineare a più variabili. Esempi classici di applicazioni multilineari sono:

Le applicazioni multilineari sono anche alla base della definizione di tensore e forma differenziale, e sono quindi molto usate in topologia differenziale nello studio delle varietà differenziabili. Hanno in particolare importanti applicazioni in fisica, specialmente in relatività generale.

Sono sinonimi i termini funzione e mappa multilineare.

Definizione e notazioniModifica

Dati   spazi vettoriali   e   sullo stesso campo  , una applicazione multilineare è una funzione

 

che associa a   vettori   rispettivamente di   un vettore   che sia lineare in ogni componente. Deve cioè valere la relazione

 

per ogni componente  , per ogni n-pla di vettori  , per ogni  , e per ogni coppia di scalari  . In altre parole, tenendo fisse tutte le variabili tranne la  -esima si ottiene una applicazione lineare.

Se è necessario evidenziare il valore  , si parla di applicazioni  -lineari.

Se lo spazio   è il campo base  , allora l'applicazione si dice forma multilineare.

Se gli spazi vettoriali   sono tutti uguali fra loro, cioè:

 

il loro prodotto cartesiano si indica anche con  .

L'insieme delle applicazioni  -lineari da   a   si indica con   e si dimostra essere uno spazio vettoriale.

EsempiModifica

Una applicazione multilineare

 

è una applicazione lineare se   e una forma bilineare se  .

Il determinante di una matrice quadrata   a elementi in   è una applicazione multilineare

 

che associa agli   vettori colonna della matrice uno scalare. Anche la traccia è un'applicazione multilineare di questo tipo.

Forme multilineari antisimmetricheModifica

Una applicazione multilineare è alternante se si annulla quando un vettore viene ripetuto:

 

In altre parole,   quando i vettori   non sono tutti distinti. In generale

 

ogni volta che i   sono linearmente dipendenti.

Una applicazione multilineare è antisimmetrica se lo scambio di due vettori ha come effetto un cambiamento di segno:

 

Se   è un campo di caratteristica diversa da due (ad esempio, se è il campo dei numeri reali o complessi), i due concetti coincidono: una forma è alternante se e solo se è antisimmetrica.

Il determinante è una funzione multilineare antisimmetrica. Si tratta di un esempio fondamentale: se  , il determinante è l'unica forma multilineare antisimmetrica

 

che vale   sulla base canonica di  .

Riduzione della multilinearità alla linearitàModifica

L'insieme   delle applicazioni n-lineari da   a   è uno spazio vettoriale, poiché la somma e il prodotto in   inducono in esso una somma e un prodotto per scalari. Tuttavia, lo spazio vettoriale   non può essere considerato, in generale, il duale di uno spazio vettoriale.

D'altra parte poter ricondurre una applicazione multilineare ad una applicazione lineare consentirebbe di utilizzare anche per le applicazioni multilineari tutta l'algebra degli spazi duali, che costituisce un'importante struttura algebrica. Per ottenere questo scopo occorre definire uno spazio vettoriale   nel quale si possa "immergere" l'insieme  , e tale che ogni applicazione  -lineare da   a   induca un'unica applicazione lineare da   a  .

Un tale spazio   si può costruire introducendo il concetto di prodotto tensoriale fra spazi vettoriali e fra vettori, dopodiché lo spazio vettoriale   cercato risulta essere il prodotto tensoriale degli spazi, cioè  .

Voci correlateModifica

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