Piano (geometria)

concetto primitivo della geometria
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Il piano è un concetto primitivo della geometria, ossia un concetto per il quale non esiste una definizione formale e che si suppone intuitivamente comprensibile e/o esperienzialmente acquisito, pertanto un'idea universalmente accettata e unica rappresentabile con oggetti concreti che fungono da esempio ma che per la loro sussistenza stessa non risolvono pienamente il concetto (gli altri concetti primitivi della geometria sono il punto e la retta).

Rappresentazione di due piani che si intersecano

Nel caso del piano si pensi, per rappresentarlo idealmente, a un foglio di carta di dimensioni infinite: il piano è l'idea, il concetto astratto, ma non è il foglio di carta sia perché questo ha uno spessore e un piano ideale non ne ha e sia perché non è possibile produrre o ritrovare un foglio di carta di dimensioni infinite.

In definitiva, esso:

Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.

Piani nello spazio tridimensionale modifica

L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale   è del tipo:

 

con   e   non tutti nulli.

Equazione cartesiana modifica

Piano passante per tre punti modifica

Siano   tre punti dello spazio non allineati. Per questi tre punti passa uno e un solo piano  . Un punto   appartiene al piano   solo se il vettore   è combinazione lineare dei vettori   e  , ossia se

 

Sviluppando il determinante con la regola di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene:

 

dove

 

Infine, per ottenere l'equazione canonica del piano, si definisce   come segue:

 

dove   è un punto che appartiene al piano, pertanto in questo caso si possono utilizzare le coordinate di un punto qualsiasi fra  ,   e  .

Posizioni reciproche di due piani modifica

 
Piani paralleli

Si può studiare la posizione reciproca di due piani mettendo a sistema le loro equazioni. Quando la matrice dei coefficienti ha rango 2, il sistema è compatibile e risulta ammettere una semplice infinità ( ) soluzioni, che rappresentano tutti i punti della retta di intersezione tra i due piani. Quando sia la matrice dei coefficienti che la matrice completa hanno rango 1, le soluzioni ammesse sono una doppia infinità ( ) e i piani risultano essere paralleli e coincidenti (parallelismo improprio). Se infine la matrice dei coefficienti ha rango 1 e la matrice completa ha rango 2, il sistema risulta essere incompatibile e i piani sono paralleli e distinti (parallelismo proprio).

Distanza di un punto da un piano modifica

È possibile calcolare la distanza di un punto   da un piano   utilizzando la seguente formula:

 

In particolare, se  , allora il punto   appartiene al piano  .

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