Piccolo dodecicosidodecaedro

Piccolo esacontaedro dodecacronico
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Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Dardi
Nº facce	60
Nº spigoli	120
Nº vertici	44
Caratteristica di Eulero	-16
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Piccolo dodecicosidodecaedro

Piccolo dodecicosidodecaedro
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	20 triangoli; 12 pentagoni; 12 decagoni
Nº facce	44
Nº spigoli	120
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	-16
Incidenza dei vertici	5.10.3/2.10
Notazione di Wythoff	3/2 5 \| 5; 3 5/4 \| 5
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Piccolo esacontaedro dodecacronico
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice	Poliedro duale

In geometria, il piccolo dodecicosidodecaedro è un poliedro stellato uniforme avente 44 facce - 20 triangolari, 12 pentagonali e 12 decagonali - 120 spigoli e 60 vertici.^[1]

Coordinate cartesiane modifica

Le coordinate cartesiane per i vertici del piccolo dodecicosidodecaedro sono date da tutte le permutazioni pari di:

\left(\,\pm (1+2\varphi ),\,\pm 1,\,\pm 1\,\right)

\left(\,0,\,\pm (1+\varphi ),\,\pm (2+\varphi )\,\right)

\left(\,\pm \varphi ,\,\pm \varphi ,\,\pm (1+\varphi )\,\right)

dove $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ è la sezione aurea.

Poliedri correlati modifica

Il piccolo dodecicosidodecaedro, spesso indicato con il simbolo U₃₃, ha la stessa disposizione di vertici del piccolo dodecaedro troncato stellato e di due poliedri composti uniformi, ossia il composto di sei prismi petagrammici e il composto di dodici prismi petagrammici, mentre condivide la posizione degli spigoli con il rombicosidodecaedro, con cui ha in comune la disposizione delle facce triangolari e pentagonali, con il piccolo rombidodecaedro, con cui ha in comune la disposizione delle facce decagonali.

Rombicosidodecaedro	Piccolo dodecicosidodecaedro	Piccolo rombidodecaedro
Piccolo dodecaedro troncato stellato	Composto di sei prismi petagrammici	Composto di dodici prismi petagrammici

Piccolo esacontaedro dodecacronico modifica

Il piccolo esacontaedro dodecacronico è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del piccolo dodecicosidodecaedro, avente per facce 60 dardi, altrimenti detti aquiloni non convessi.^[2] Dato un piccolo dodecicosidodecaedro di spigolo pari a 1, immaginando il piccolo esacontaedro dodecacronico come composto da 60 facce intersecanti a forma di dardo, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, le facce risultanti hanno una coppia di angoli uguali di ampiezza pari a $\arccos({\frac {5}{8}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {5}})\approx 25,.242\,832\,961\,52^{\circ }$ , e due angoli di ampiezza $\arccos(-{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{40}}{\sqrt {5}})\approx 67,783\,011\,547\,44^{\circ }$ e $360^{\circ }-\arccos(-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{10}}{\sqrt {5}})\approx 241,731\,322\,529\,52^{\circ }$ , con il rapporto tra lati lunghi e lati corti pari a ${\frac {7+{\sqrt {5}}}{6}}\approx 1.539\,344\,662\,92$ .

Note modifica

^ Roman Maeder, 33: small dodecicosidodecahedron, su Mathconsult. URL consultato il 24 marzo 2024.
^ Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 2004, pp. 70. URL consultato il 20 marzo 2024.

Collegamenti esterni modifica

(EN) Eric W. Weisstein, Piccolo esacontaedro dodecacronico, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.

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[1] Roman Maeder, 33: small dodecicosidodecahedron, su Mathconsult. URL consultato il 24 marzo 2024.

[2] Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 2004, pp. 70. URL consultato il 20 marzo 2024.

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