Poliedro composto

In geometria solida si chiama poliedro composto o composto poliedrico una figura geometrica formata da due o più poliedri che condividono un baricentro comune.

La stella ottangola è il più semplice poliedro composto regolare, ed è l'unione di due tetraedri in posizione duale.

Ad ogni composto poliedrico sono associate due particolari caratteristiche che individuano due nuovi poliedri ad esso correlati:

– la chiusura convessa di un composto è il più piccolo poliedro convesso che lo contiene;

– l'intersezione o nucleo di un composto è la porzione di spazio comune a tutti i suoi componenti.

Si deduce facilmente che il nucleo di un composto poliedrico è esso stesso un poliedro ed in particolare che è un poliedro convesso se tutti i componenti sono convessi.

La chiusura convessa è detta anche, in maniera del tutto equivalente, inviluppo convesso oppure involucro convesso.

Un esempio di composto poliedrico è la stella ottangola mostrata in figura: essa è un composto di due tetraedri regolari ed ha come chiusura convessa un cubo e come nucleo un ottaedro.

Composti regolariModifica

Un composto poliedrico si dice regolare se soddisfa le normali condizioni di regolarità che valgono anche per i poliedri semplici (non composti) ossia deve essere omogeneo nei vertici, negli spigoli e nelle facce: cioè per ogni coppia di vertici (o di spigoli o di facce) esiste una simmetria del poliedro che trasforma uno dei due elementi nel secondo.

Risulta evidente perciò che affinché un composto sia regolare è necessario – ma non sufficiente – che tutti i suoi componenti siano regolari ed eguali tra loro. Più nello specifico i componenti saranno esclusivamente tetraedri, ottaedri o cubi.

Esistono in tutto 5 poliedri composti regolari (ovvero 6 se si considerano le due forme chirali di uno come due poliedri distinti). Sono elencati di seguito:

componenti figura elementi

notevoli

inviluppo

convesso

intersezione simmetrie duale
2 tetraedri  
V = 8

S = 12

F = 8

cubo ottaedro 48

gruppo Oh

sé stesso
5 cubi   V = 20

S = 60

F = 30

dodecaedro triacontaedro

rombico

120

gruppo Ih

5 ottaedri
5 ottaedri   V = 30

S = 60

F = 40

icosidodecaedro icosaedro 120

gruppo Ih

5 cubi
5 tetraedri

(chirale)

  V = 20

S = 30

F = 20

dodecaedro icosaedro 60

gruppo I

5 tetraedri

speculari

10 tetraedri   V = 20

S = 60

F = 40

dodecaedro icosaedro 120

gruppo Ih

sé stesso

I gruppi   e   sono rispettivamente il gruppo di simmetria dell'ottaedro e dell'icosaedro. Il gruppo   è il sottogruppo in   dato dalle simmetrie che preservano l'orientazione.

Il poliedro duale del composto di cinque tetraedri è l'immagine riflessa di sé stesso; l'unione dei due forma il composto di dieci tetraedri.

Composti uniformiModifica

Una caratteristica meno restrittiva rispetto alla regolarità è quella di uniformità, che include tutti i composti con vertici omogenei, le cui facce siano poligoni regolari. Ciò implica che i componenti debbano essere essi stessi uniformi e congruenti tra loro.

Una classificazione completa di tutti i possibili composti uniformi fu fornita da John Skilling nel 1976. L'elenco enumera 75 elementi, indicati con la sigla UC (uniform compound) seguita da un indice numerico. Vi sono inclusi i 5 composti regolari, 20 composti non banali di prismi ed antiprismi, 2 classi infinite di prismi e 4 classi infinite di antiprismi. Alcuni dei composti uniformi hanno un grado di libertà rotazionale, cioè l'inclinazione dei componenti è variabile, pur mantenendo inalterate le simmetrie del composto.

Il composto di 20 ottaedri con libertà rotazionale (UC13) presenta 4 casi particolari, classificati con codici distinti: il composto regolare di 5 ottaedri (UC17), due differenti composti di 10 ottaedri (UC15 e UC16) ed un composto di 20 ottaedri "fisso" con vertici a due a due coincidenti (UC14).

I poliedri uniformi chirali (simi, camusi, retrocamusi e camusi invertiti) formano naturalmente un composto poliedrico uniforme se sovrapposti alla propria immagine riflessa. Rientra in questa categoria – pur non essendo chirale – anche l'icosaedro, considerato come un "tetraedro simo".

Non vi è alcun caso di composto poliedrico uniforme costituito da dodecaedri platonici, né da grandi dodecaedri stellati.

BibliografiaModifica

  • H. M. Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
  • Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.
  • Skilling John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, DOI:10.1017/S0305004100052440.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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