Polinomio di Legendre

In matematica per funzioni di Legendre si intendono le soluzioni dell'equazione di Legendre, un'equazione differenziale ordinaria che si incontra spesso nella fisica e in vari settori tecnologici: ad esempio nella soluzione in coordinate sferiche dell'equazione di Laplace e di equazioni differenziali alle derivate parziali. Queste funzioni sono così chiamate in onore di Adrien-Marie Legendre, e spesso intervengono nella soluzione dell'equazione di Schrödinger.

Definizione

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  Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Legendre.
 
Grafico dei polinomi di Legendre per n ≤ 5

L'equazione di Legendre si può risolvere con metodi standard delle serie di potenze. Si hanno soluzioni date da serie convergenti per  . Si hanno soluzioni convergenti anche per   purché   sia un intero non negativo. In tal caso le soluzioni al variare di   formano una successione polinomiale detta successione dei polinomi di Legendre.

Il polinomio di Legendre   ha grado   e può essere espresso mediante la formula di Rodriguez:

 

I polinomi di Legendre sono polinomi ortogonali nell'intervallo   rispetto al prodotto interno L2:

 

Qui   denota la delta di Kronecker, uguale a   se   e uguale a   in caso contrario.

Una costruzione alternativa dei polinomi di Legendre consiste nell'effettuare il procedimento di Gram-Schmidt per la ortogonalizzazione della successione polinomiale   e poi moltiplicare i nuovi polinomi ottenuti per   con   che indica l' -esimo polinomio di Legendre.

Questi sono i primi polinomi di Legendre:

 

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