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1leftarrow blue.svgVoce principale: Tensore.

Il calcolo tensoriale è quella parte dell'analisi che manipola i tensori.

Sviluppato da Gregorio Ricci-Curbastro e dal suo allievo Tullio Levi-Civita, è stato utilizzato da Albert Einstein per elaborare la sua teoria della relatività generale. Rispetto al calcolo infinitesimale, il calcolo tensoriale permette di presentare le equazioni fisiche in forma indipendente dalla scelta del sistema di coordinate.

Secondo Eddington, è questo il solo mezzo possibile per esprimere i fenomeni in forma oggettiva, e per spiegare le leggi della fisica come combinazioni di leggi ancor più profonde, quelle dello spazio-tempo.

Derivata tensorialeModifica

Sia   uno scalare, ad esempio una funzione scalare invariante estesa nel continuum a quattro dimensioni. Consideriamo ora una curva   qualunque, su cui stabiliamo una metrica per cui la distanza da un punto fisso misurata sulla curva sia   allora anche   è invariante, essendo invarianti sia   che  . Poiché vale la relazione

 

anche il secondo membro è un invariante (ometteremo nel seguito il simbolo di somma, con le solite convenzioni). Dunque il quadrivettore

 

ossia il gradiente di  , è covariante. Se definiamo un nuovo invariante

 

per quanto visto prima,   è un invariante. Sostituendo a   la sua espressione, otteniamo

 

Ricordando che l'equazione generale di una geodetica per lo spaziotempo, utilizzando i simboli di Christoffel di seconda specie, ha la forma

 

ricaviamo il valore di  , che sostituiamo. Otteniamo dunque la relazione

 

Il teorema di Schwarz ci garantisce che l'ordine di derivazione rispetto a   e   è invertibile, e il simbolo di Christoffel di seconda specie è simmetrico rispetto a   e  , dunque la relazione tra parentesi quadre data sopra è simmetrica anch'essa. Per la generalità delle  , il quadrivettore   è arbitrario. Ricordando l'invarianza di   otteniamo dunque che la relazione

 

rappresenta un tensore covariante del secondo ordine.

Ricapitolando, dal quadrivettore covariante

 

abbiamo ricavato il tensore covariante del secondo ordine

 

Chiameremo questo tensore la derivata tensoriale del tensore Aμ. È facile vedere che tale risultato vale non solo partendo da un gradiente, ma da qualsiasi vettore covariante. Basta infatti notare che, dati due scalari   e  , per quanto visto prima   è un tensore del primo ordine covariante. Altrettanto potrà dirsi di una somma di quattro di questi vettori qualsiasi  . Ora, un qualunque vettore Aμ può esprimersi nella forma di Sμ (il come è lasciato per esercizio al lettore). Per quanto riguarda il resto della dimostrazione, basta ripercorrere il cammino partendo da  , e si ricava esattamente la stessa formula, che è quanto ci attendevamo.

Esaminiamo ora il caso di un tensore del secondo ordine Aμν, abbiamo già visto che è possibile esprimerlo come somma di prodotti del tipo AμBν. Ricordando la regola di derivazione del prodotto, deriviamo singolarmente i due tensori, ottenendo

 

e

 

Queste espressioni sono tensori. Moltiplicando poi la prima per Bν e la seconda per Aμ, otteniamo comunque sei tensori del terzo ordine. Sommandoli e ponendo

 

otteniamo

 

Analogamente a quanto visto prima, è possibile estendere il risultato ad un tensore del secondo ordine qualunque, e utilizzando le normali regole per la moltiplicazione dei tensori, si ricavano facilmente le espressioni per le derivate tensoriali per qualunque ordine di tensori.

Divergenza di un tensoreModifica

Dato un tensore del primo ordine Aμ, possiamo dapprima considerare il nuovo tensore che si ottiene derivando tensorialmente

 

e poi la contrazione del tensore Fμν

 

Lo scalare così ottenuto definisce la divergenza di Aμ

 

Ciò mostra come la divergenza di un vettore sia invariante per cambio di coordinate.

Rotore di un tensoreModifica

Il rotore di un tensore del primo ordine Aμ può essere definito, in modo formale, in modo analogo al prodotto vettoriale tra vettori, assumendo come secondo vettore le componenti dell'operatore ∇. Per mezzo del simbolo di Levi-Civita εijk si ha allora

 

dove ∂j definisce la derivata controvariante, ovvero, per mezzo del tensore fondamentale gjl

 

In generale, il rotore di un tensore nxn,è a sua volta un tensore, che ha per colonne, il rotore delle righe. (Per esempio la prima colonna del tensore risultante sarà il rotore della prima riga, la seconda colonna sarà il rotore della seconda riga, e così via)

EsempiModifica

Molte delle usuali operazioni svolte in algebra lineare possono essere descritte usando dei tensori, scritti in coordinate, e manipolandoli tramite prodotti e contrazioni.

Funzionali lineariModifica

Un funzionale lineare   è un covettore  , cioè un tensore di tipo  . Un vettore   è descritto da un tensore   di tipo  . Lo scalare   è quindi

 

ottenuto prima facendo il prodotto dei due tensori, e poi contraendo gli indici.

EndomorfismiModifica

Un endomorfismo   può essere descritto come un tensore   di tipo  . Un vettore   come un tensore   di tipo  . Il vettore   è quindi

 

Forme bilineariModifica

Una forma bilineare   può essere descritta come un tensore  . Dati due vettori   e  , lo scalare   è dato da

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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