Forma bilineare

mappa bilineare a valori in un campo
Nota disambigua.svg Disambiguazione – "Forma bilineare simmetrica" rimanda qui. Se stai cercando altri significati, vedi Prodotto scalare.

In matematica, più precisamente in algebra lineare, una forma bilineare è una mappa bilineare a valori in un campo. Si tratta di una funzione definita sul prodotto cartesiano di due spazi vettoriali che è lineare in entrambe le componenti.

Indice

DefinizioneModifica

Siano   e   spazi vettoriali su   e   il loro prodotto cartesiano. Una forma bilineare sul campo   è una mappa

 

che associa ad ogni coppia di elementi   e   lo scalare   ed è lineare su entrambe le componenti, cioè:[1]

 
 
 

Fissato uno dei due argomenti, la funzione è lineare rispetto all'altro.

Se   e   coincidono, la forma si dice bilineare su   (o su  ).[2]

Rappresentazione in coordinateModifica

Se   ha dimensione n finita, ogni forma bilineare   su   può essere rappresentata come una matrice quadrata con n righe. Come per le applicazioni lineari, per fare ciò è necessario scegliere una base   per  , in quanto la matrice risultante dipende dalla base scelta.

La matrice   è definita per componenti da:

 

L'azione della forma bilineare su due vettori   e   di   si ricava nel modo seguente, tramite moltiplicazione tra matrici:

 

dove   e   sono le coordinate di   e   rispetto alla base.

Relazione con lo spazio dualeModifica

Ogni forma bilineare   su   definisce una coppia di mappe lineari da   nel suo spazio duale  . Si definiscano nel modo seguente:

 
 

In altre parole,   è l'elemento di   che manda   in  .

Per denotare la posizione dell'argomento nella mappa lineare risultante, si usa la notazione:

 
 

Ogni mappa lineare   definisce analogamente una funzione bilineare:

 

Forme simmetriche e antisimmetricheModifica

Una forma bilineare   è detta simmetrica se:[3]

 

per ogni   e   in  . È invece detta antisimmetrica o alternante se:

 .

Una forma bilineare   è simmetrica se e solo se la matrice associata   (rispetto ad una base qualsiasi) è simmetrica, ed è antisimmetrica se e solo se la matrice associata è antisimmetrica.

Se la forma bilineare è simmetrica, le due mappe   e   definite sopra coincidono.

Se   non ha caratteristica 2, allora una caratterizzazione equivalente di una forma antisimmetrica è:

 

per ogni  . In caso contrario, la condizione precedente è solo sufficiente.

Prodotto scalareModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotto scalare.

Una forma bilineare simmetrica è spesso chiamata prodotto scalare.[3] Altri autori definiscono invece il prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica a valori nel campo   dei numeri reali che sia definita positiva, ovvero con   per ogni   diverso da zero, e  .

Forma degenereModifica

Una forma bilineare   definita su uno spazio   di dimensione finita è degenere se la matrice   che la rappresenta rispetto ad una base ha determinante nullo. Altrimenti, è detta non degenere. La definizione non dipende dalla base scelta per rappresentare la forma come matrice.

I fatti seguenti sono equivalenti:

  • La forma bilineare   è degenere.
  • Esiste un vettore   non nullo tale che   per ogni  .
  • Esiste un vettore   non nullo tale che   per ogni  .

EsempiModifica

  • Il prodotto scalare canonico fra vettori del piano o dello spazio euclideo è una forma bilineare simmetrica.
  • Sia   lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo  , a valori reali. Un esempio di forma bilineare simmetrica definita su   è data da:
 

NoteModifica

  1. ^ S. Lang, Pag. 182
  2. ^ S. Lang, Pag. 183
  3. ^ a b S. Lang, Pag. 185

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica