Punti antipodali (matematica)

I punti antipodali su una sfera generalizzano il concetto geografico di punti antipodali sulla Terra anche a sfere di dimensioni arbitrarie.

DefinizioneModifica

Una sfera di dimensione   è descritta dall'equazione

 

nello spazio euclideo  -dimensionale  .

Il punto antipodale ad un punto   è il punto  : tutte le coordinate cambiano cioè di segno.

Spazio quozienteModifica

Lo spazio quoziente rispetto alla relazione di equivalenza di antipodalità è lo spazio proiettivo reale, oggetto fondamentale della geometria proiettiva.

Mappa antipodaleModifica

La funzione che associa ad ogni punto di una sfera il suo antipodale è detta mappa antipodale.

La mappa antipodale preserva l'orientazione della sfera se e solo se   è dispari. Infatti la funzione è la restrizione della funzione lineare

 
 

associata alla matrice   opposta alla matrice identità  . Il determinante di questa matrice è  , ed il suo segno è quindi effettivamente positivo solo per   dispari.

Per questo motivo, lo spazio proiettivo è orientabile solo per   dispari.

Teorema di Borsuk-UlamModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Borsuk-Ulam.

Il teorema di Borsuk-Ulam è un risultato di topologia riguardante i punti antipodali in dimensione arbitraria: asserisce che ogni funzione continua da una sfera in uno spazio euclideo della stessa dimensione manda due punti antipodali sullo stesso punto (in particolare, non può essere iniettiva).

Voci correlateModifica

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