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In matematica, la matrice hessiana di una funzione di n variabili a valori in un campo di scalari, anche detta matrice di Hesse o semplicemente hessiana, è la matrice quadrata n × n delle derivate parziali seconde della funzione. Il nome è dovuto a Ludwig Otto Hesse.

DefinizioneModifica

Data una funzione reale di n variabili reali  , se tutte le sue derivate parziali seconde esistono allora si definisce matrice hessiana della funzione   la matrice   data da:

 

cui si associa l'operatore:

 

L'hessiana di fatto rappresenta la jacobiana del gradiente (come vettore riga), sinteticamente:

 

Derivate miste e simmetria dell'hessianaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Schwarz.

Gli elementi fuori dalla diagonale principale nell'hessiana sono le derivate miste della funzione  . Con opportune ipotesi, vale il teorema seguente:

 

Questa uguaglianza si scrive anche come:

 

In termini formali: se tutte le derivate seconde di   sono continue in una regione  , allora l'hessiana di   è una matrice simmetrica in ogni punto di  . La veridicità di questa affermazione è nota come teorema di Schwarz.

Punti critici e discriminanteModifica

Se il gradiente della funzione   è nullo in un punto   appartenente al dominio della funzione, allora   in   ha un punto critico. Il determinante dell'hessiana (detto semplicemente hessiano) in   è anche detto discriminante in  . Se questo determinante è zero allora   è chiamato punto critico degenere della  . Negli altri punti viene chiamato non degenere.

Test per la derivata secondaModifica

Il seguente criterio può essere applicato in un punto critico   non degenere:

  • se l'hessiana ha almeno due autovalori di segno opposto allora   è un punto di sella per  .

Altrimenti il test è inconclusivo. Si noti che per hessiane semidefinite positive e semidefinite negative il test è inconclusivo. Quindi, possiamo vedere di più dal punto di vista della teoria di Morse.

Tenuto conto di quanto è stato appena detto, il test per le derivate seconde per funzioni di una e due variabili sono semplici.

In una variabile, l'hessiana contiene appena una derivata seconda:

  • se questa è positiva allora   è un minimo locale, se questa è negativa allora   è un massimo locale;
  • se questa è zero allora il test è inconclusivo.

In due variabili, può essere usato il determinante, perché è il prodotto degli autovalori:

  • se questo è positivo allora gli autovalori sono entrambi positivi, o entrambi negativi;
  • se questo è negativo allora i due autovalori hanno differente segno;
  • se questo è zero, allora il test della derivata seconda è inconclusivo.

Funzioni a valori vettorialiModifica

Se   è invece una funzione a valori vettoriali, cioè se

 

allora il vettore delle derivate parziali seconde non è una matrice, ma un tensore di rango 3.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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