Q-serie ipergeometrica

In matematica, le q-serie ipergeometriche, chiamate anche serie ipergeometriche basiche, sono generalizzazioni q-analoghe delle serie ipergeometriche ordinarie. Si definiscono comunemente due tipi di q-serie, le q-serie ipergeometriche unilaterali e le q-serie ipergeometriche bilaterali.

La terminologia viene stabilita in analogia con quella delle serie ipergeometriche ordinarie. Una serie ordinaria viene detta serie ipergeometrica (ordinaria) se il rapporto fra termini successivi è una funzione razionale di n. Se invece il rapporto fra termini successivi è una funzione razionale di , la serie corrispondente viene detta q-serie ipergeometrica.

Le q-serie ipergeometriche sono state analizzate per la prima volta da Eduard Heine nel XIX secolo, al fine di individuare caratteristiche comuni alle funzioni teta di Jacobi e alle funzioni ellittiche.

Definizione

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Si definisce q-serie ipergeometrica unilaterale in 2 k + 1 parametri e nella variabile z

 

dove

 

è il q-fattoriale crescente.

La q-serie ipergeometrica bilaterale in 2 k parametri e nella variabile z viene definita come

  .

Semplici esempi

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Alcuni semplici esempi di queste serie includono

  ,
 

e

 

Semplici identità

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Tra le identità più semplici segnaliamo

 

e

 

Il caso particolare relativo ad   è strettamente collegato alla funzione q-esponenziale.

Identità di Ramanujan

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Ramanujan ha scoperto l'identità

 

valida per   e  . Una fondamentale identità simile alla precedente concernente   è stata data da Bailey. Si è capito che tale identità è una generalizzazione del teorema del triplo prodotto di Jacobi, il quale può essere scritto mediante la q-serie come

  .

Inoltre questa identità generalizza anche una analoga identità concernente un prodotto quintuplo.

Ken Ono propone una serie formale di potenze collegata

 

Q-serie ipergeometrica generalizzata

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In generale, seguendo Gasper e Rahman, si definisce q-serie ipergeometrica unilaterale secondo Gasper in r + s + 1 parametri e nella variabile z

 

Bibliografia

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