Serie formale di potenze

tipo di espressione algebrica

In matematica, le serie formali di potenze sono entità che rendono possibile riformulare gran parte dei risultati concernenti le serie di potenze ottenuti nella analisi matematica in ambiti formali dove non si pongono questioni di "convergenza". Esse si rivelano utili, specialmente nella combinatoria, per fornire rappresentazioni compatte di successioni di numeri e funzioni e per ottenere formule chiuse per successioni definite attraverso un algoritmo ricorsivo; questo modo di operare viene detto metodo delle funzioni generatrici.

Introduzione informale

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Una serie formale di potenze può essere definita in termini informali come un "polinomio con una infinità numerabile di termini". Per chi ha già familiarità con le serie di potenze (o serie di Taylor), invece, lo studio delle serie formali di potenze può essere visto come uno studio delle serie di potenze nel quale si trascurano tutte le questioni di convergenza. Consideriamo, ad esempio, la serie:

 

Se la consideriamo come una comune serie di potenze possiamo studiarne le proprietà quali, ad esempio, il fatto che il suo raggio di convergenza è 1. Se invece viene vista come una serie formale di potenze, questo fatto viene completamente ignorato; è rilevante solo la successione dei suoi coefficienti

 

Una serie formale di potenze potrebbe considerarsi una entità che registra una successione di coefficienti.

Rinunciando a porsi i problemi di convergenza (e alla conseguente possibilità di individuare valori numerici) si acquista la possibilità di definire sulle serie formali di potenze un'ampia gamma di operazioni che portano a meccanismi costruttivi spesso molto vantaggiosi. Una prima gamma di operazioni viene ripresa agevolmente dall'algebra dei polinomi. Per esempio, se:

 

si possono sommare   e   termine a termine:

 

Le serie formali di potenze si possono anche moltiplicare come fossero polinomi:

 

Si noti che ogni coefficiente del prodotto   dipende solo da un numero finito di coefficienti di   e   ad esempio, il termine in   è dato da:

 

La finitezza della somma che fornisce i coefficienti di una serie prodotto rende lecito moltiplicare le serie formali di potenze senza le preoccupazioni di convergenza assoluta, condizionale e uniforme che non si possono ignorare nello studio delle serie di potenze nell'ambito dell'analisi matematica.

Varie altre operazioni che si possono riprendere dall'algebra dei polinomi sono presentate qui sotto. Le operazioni meno usuali compaiono in articoli più specifici.

Impostazione formale

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Due definizioni dell'anello delle serie formali di potenze

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Consideriamo un anello commutativo   ci proponiamo di definire l'anello delle serie formali di potenze su   nella variabile  , denotato con  ; gli elementi di questo anello dovrebbero essere pensati come serie di potenze i cui coefficienti sono elementi di  

La definizione forse più efficace di   lo considera come completamento dell'anello dei polinomi   rispetto alla topologia I-adica determinata dell'ideale   di   generato da   Questo consiste in un anello topologico completo contenente   come sottospazio denso. Questa costruzione determina contemporaneamente la struttura di anello e la struttura topologica.

Tuttavia è possibile descrivere   più esplicitamente e senza ricorrere a nozioni algebriche complesse definendo separatamente la struttura di anello e la struttura topologica.

Struttura di anello

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Partiamo dall'insieme   di tutte le successioni infinite in   Per due di tali successioni definiamo l'addizione come

 

e la moltiplicazione come

 

Questo tipo di prodotto viene chiamato prodotto di Cauchy delle due successioni di coefficienti; questa composizione costituisce una sorta di convoluzione discreta. Con queste operazioni,   diventa un anello commutativo il cui elemento zero è   e la cui identità moltiplicativa è  

Se identifichiamo l'elemento   di   con la successione   e scriviamo   allora dalle precedenti definizioni di addizione e moltiplicazione segue che ogni sequenza che presenta solo un numero finito di componenti diversi da zero può venire scritta come somma finita

 

Struttura topologica

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È opportuno cercare di estendere la precedente formula ad una valida per successioni arbitrarie in  , cioè fare in modo che valga una uguaglianza della forma

 

Per dare senso alla somma infinita al secondo membro è necessaria una nozione di convergenza in  , cosa che richiede l'introduzione di una topologia su  . Una topologia appropriata si può ottenere in vari modi equivalenti.

  • Si può munire   della topologia prodotto ottenuta assegnando ad ogni copia di   la topologia discreta.
  • Si può introdurre una metrica, ovvero una funzione distanza. Per le due successioni   e   in  , si definisce
 
dove   è il minimo numero naturale tale che  ; se un tale   non esiste, allora le due successioni coincidono e come loro distanza si assume zero.
  • Possiamo dare a   la topologia I-adica, dove   è l'ideale generato da   che consiste di tutte le successioni il cui primo termine   è zero.

Tutte queste definizioni della topologia portano ad affermare che due successioni   e   sono "vicine" se i loro primi termini coincidono; più termini coincidono, più esse sono vicine.

A questo punto si può attribuire un senso all'equazione (1); le somme parziali della serie palesemente convergono alla successione al primo membro: in effetti ogni riarrangiamento della serie converge allo stesso limite.

Si può verificare che questa struttura topologica, insieme alle operazioni di anello descritte sopra, formano un anello topologico. Essa viene chiamata anello delle serie formali di potenze su   e viene tradizionalmente denotata con  

Proprietà universale

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L'anello   può essere caratterizzato mediante la seguente proprietà universale. Se   è un'algebra commutativa associativa su   e se   è un ideale di   tale che la topologia  -adica su   è completa, denotato con   un elemento di   allora esiste un unico   che gode delle seguenti proprietà:

  •   è un omomorfismo di  -algebre;
  •   è continua;
  •  

Operazioni sulle serie formali di potenze

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Inversione delle serie

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La serie   in   è invertibile in   se e solo se il suo coefficiente costante   è invertibile in   Un caso speciale importante è quello della formula per la serie geometrica, valida in  :

 

Composizione delle serie

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Date le serie formali di potenze

 

e

 

si definisce come loro composizione

 

i coefficienti   vanno determinati "sviluppando" le potenze della   Una presentazione più esplicita di questi coefficienti è fornita dalla formula di Faà di Bruno.

Va sottolineato che l'operazione è ben definita solo quando   è "priva di termine costante", condizione necessaria affinché la serie   converga nella topologia di   ossia condizione affinché ogni   dipenda solo da un numero finito di coefficienti della   e  

Esempio
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Si denota con   la serie formale di potenze

 

l'espressione

 

può essere lecitamente considerata come serie formale di potenze. Va rilevato, tuttavia, che un enunciato come

 

in quanto espressione di una proprietà della composizione di serie formali di potenze è da evitare. Infatti porta confusione fra le nozioni di convergenza in   e convergenza in   in effetti qualche anello   potrebbe anche non contenere alcun numero   che goda le proprietà del numero reale definibile con un limite di alcune successioni secondo la usuale metrica dei numeri reali (vedere e (costante matematica)).

Differenziazione formale delle serie

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Data una serie formale di potenze

 

in   si definisce come sua derivata formale

 

La trasformazione   viene chiamata operatore di differenziazione formale. La motivazione di questa definizione sta nel fatto che essa semplicemente estende la differenziazione termine a termine di un polinomio.

Questa operazione è  -lineare:

 

per ogni   e ogni   Inoltre la derivata formale possiede molte delle proprietà della usuale derivata del calcolo infinitesimale. Ad esempio valgono la regola del prodotto

 

e la regola di derivazione di funzione composta

 

per tutte le coppie di funzioni che soddisfino le condizioni per la composizione delle loro serie (vedere sopra Composizione di serie).

Da un certo punto di vista tutte le serie formali di potenze sono serie di Taylor. In effetti per la   sopra definita si trova che

 

dove   denota la derivata formale  -esima, cioè il risultato del differenziare formalmente   volte.

Proprietà algebriche dell'anello delle serie di potenze formali

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  è un'algebra associativa sull'anello   la quale contiene l'anello   dei polinomi su   i polinomi corrispondono alle successioni con un numero finito di componenti diverse da zero.

Il radicale di Jacobson di   è l'ideale generato da   e dal radicale di Jacobson di   questo fatto è conseguenza del criterio di invertibilità di un elemento discusso sopra.

Gli ideali massimali di   si ottengono tutti a partire da quello in   nel seguente modo: un ideale   di   è massimale se e solo se   è un ideale massimale di   e inoltre   viene generato come ideale da   e  

Sono molte le proprietà algebriche di   che possono essere ereditate da  :

  • se   è un anello locale, allora è tale anche  
  • se   è noetheriano, allora è tale anche  ; questa è una particolarizzazione del teorema della base di Hilbert;
  • se   è un dominio di integrità, allora lo è anche  

Se   è un campo, allora   gode di proprietà addizionali, ad esempio:

Proprietà topologiche dell'anello delle serie di potenze formali

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Lo spazio metrico   è completo.

L'anello   è compatto se e solo se   è finito. Questo segue dal teorema di Tychonoff e dalla caratterizzazione della topologia su   come topologia prodotto.

Applicazioni

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Le serie formali di potenze possono essere utilizzate per risolvere molte delle equazioni di ricorrenza che si incontrano nella teoria dei numeri e nella combinatoria. Per l'esempio riguardante la ricerca di un'espressione in forma chiusa per i numeri della successione di Fibonacci, vedi la voce sulla funzione generatrice.

Le serie formali di potenze consentono di dimostrare numerose relazioni familiari dell'analisi matematica in modo puramente algebrico. Consideriamo per esempio i seguenti elementi di  :

 
 

A partire da queste serie formali si può dimostrare direttamente che

 

e

 

Mentre nell'anello   si dimostra che

 

In algebra, l'anello   (dove   è un qualsiasi campo) viene spesso usato come l'anello locale completo su   "standard e più generale".

Funzioni dalle serie di potenze formali

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Nell'analisi matematica, ogni serie di potenze convergente definisce una funzione con valori nel campo dei numeri reali o dei numeri complessi. Anche le serie formali di potenze possono essere interpretate come funzioni, ma occorre essere cauti nel precisare il loro dominio e il loro codominio. Se   è un elemento di     un'algebra commutativa associativa su     è un ideale in   tale che la topologia I-adica su   è completa e   è un elemento di   allora si può definire

 

la nuova serie essendo sicuramente convergente in   grazie alle richieste per la   Abbiamo inoltre

 

e

 

Mentre per le funzioni tradizionali queste uguaglianze sono delle definizioni delle funzioni a primo membro, per le serie si tratta di uguaglianze che possono essere dimostrate.

Dato che la topologia su   è la topologia  -adica e   è completo, è possibile, in particolare, applicare le serie di potenze ad altre serie di potenze, assodato che ogni serie argomento abbia coefficiente costante nullo:     e   sono ben definite per ogni serie formale di potenze  

Con questo formalismo si può dare una formula esplicita per l'inversa moltiplicativa di una serie di potenze   il cui coefficiente costante   è invertibile in  :

 

Se la serie formale di potenze   con   è data implicitamente dalla equazione

 

dove   è una serie formale di potenze nota con   allora i coefficienti di   possono essere calcolati esplicitamente mediante il teorema di inversione di Lagrange.

Generalizzazioni

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Sono state individuate varie generalizzazioni delle serie formali di potenze "normali" sopra trattate che si dimostrano utili strumenti per la sistemazione e la generalizzazione di risultati trovati in ricerche specifiche e frammentarie, in particolare su funzioni speciali e formule di ricorrenza.

Una prima generalizzazione riguarda le serie formali di potenze in più variabili; esse costituiscono un'estensione naturale di quelle su una sola variabile.

Si possono poi possono considerare anelli di serie formali di potenze non necessariamente date da interi naturali, ma soltanto corrispondenti ad insiemi di interi con un limite inferiore o insiemi di interi con un limite superiore. Infatti per due di tali serie risulta ancora possibile definire un prodotto di Cauchy mediante convoluzioni discrete. Tra queste serie accenniamo a quelle di Laurent. Infine introduciamo una generalizzazione concernente indici che corrono in generici gruppi abeliani ordinati.

Serie formale di Laurent

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Se   è un campo, allora   è un dominio di integrità e quindi si può considerare il suo campo quoziente. Questo viene detto anello delle serie formali di Laurent e viene denotato con   Si tratta di un campo topologico e la sua relazione con le serie formali di potenze è analoga a quella tra serie di potenze e serie di Laurent. I suoi elementi hanno la forma

 

dove   è un intero che dipende da   (non si chiede che tutte le serie del campo abbiano la stessa potenza minima).

Anche per le serie formali di Laurent la differenziazione viene definita in modo naturale, cioè (termine a termine). Oltre alle regole elencate sopra a proposito di differenziazione formale delle serie, vale anche la regola del quoziente.

Serie con l'insieme indice dato da un gruppo abeliano ordinato

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Facciamo ancora riferimento ad un anello commutativo   e sia   un gruppo abeliano ordinato, cioè un gruppo abeliano munito di un ordinamento totale "<" che rispetta l'addizione gruppale, ossia tale che sia   se e solo se   per ogni   di   Sia poi   un sottoinsieme bene ordinato di   cioè un sottoinsieme che non contiene catene discendenti infinite. Consideriamo allora l'insieme degli oggetti esprimibili come

 

per tutti questi   e con i coefficienti   appartenenti a   assumendo anche per ogni insieme indice che la somma corrispondente a tutti gli   nulli in   dia lo zero della nuova struttura. In tali condizioni   è l'anello delle serie formali di potenze su   grazie alla richiesta che l'insieme indice sia ben ordinato il prodotto risulta ben definito e naturalmente si assume che due elementi che differiscono dello zero coincidano.

Varie proprietà di   si trasferiscono a  . Se   è un campo, allora è un campo anche  . Se   è un campo ordinato, possiamo ordinare   chiedendo che ogni elemento abbia lo stesso segno del suo primo coefficiente, definendo come tale il minimo elemento dell'insieme indice   con il coefficiente associato non nullo. Finalmente se   è un gruppo divisibile e   è un campo reale chiuso, allora   è un campo reale chiuso, mentre se   è algebricamente chiuso, allora è tale anche  .

Questa teoria è dovuta a Hans Hahn, che ha anche mostrato che si ottengono dei sottocampi quando il numero dei termini non nulli è limitato da qualche fissata cardinalità infinita.

Esempi e argomenti associati

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Bibliografia

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  • Jean Berstel, Christophe Reutenauer (2011): Noncommutative Rational Series with applications, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19022-0
  • Manfred Droste, Werner Kuich (2009): Semirings and Formal Power Series, pp 3-28 in Manfrd Droste, Werner Kuich, Heiko Vogler eds.: Handbook of Weighted Automata, Springer, ISBN 978-3-642-01492-5
  • Herbert Saul Wilf (1994): Generatingfunctionology, Academic Press
  • Steven Roman (1979): The algebra of formal series, Adv. in Math., 31 pp. 309–339
  • Arto Salomaa, Matti Soittola (1978): Automata--Theoretic Aspects of Formal Power Series, Springer* Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Capitolo 2.15).
  • Ivan Morton Niven (1969): Formal power series, Amer. Math. Monthly, 76, pp. 871–889

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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