Funzione razionale

una funzione esprimibile come rapporto fra polinomi

In matematica, una funzione razionale è una funzione esprimibile come rapporto fra polinomi, in modo analogo ad un numero razionale che è un numero esprimibile come rapporto fra interi.

Definizione

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Funzione razionale y = (x²-3x-2)/(x²-4)

Una funzione razionale in una variabile è una funzione del tipo:

 

dove   e   sono due polinomi. Ad esempio:

 

è una funzione razionale a una variabile.

Una funzione è detta razionale intera quando al secondo membro figura un polinomio. Per ottenere il valore della variabile dipendente  , si svolgono operazioni costituite da somme, differenze e prodotti. Alla   può quindi essere assegnato qualsiasi valore.

Una funzione è detta razionale fratta quando al secondo membro figura una frazione il cui numeratore e denominatore sono polinomi. In questo caso, per ottenere il valore della variabile dipendente  , oltre alle operazioni costituite da somme, differenze e prodotti, occorre eseguire l'operazione di divisione. Alla   può quindi essere assegnato qualsiasi valore che non annulli il denominatore.

Una funzione razionale può essere reale o complessa, a seconda che i coefficienti dei polinomi siano numeri reali o complessi. Più in generale, i coefficienti devono essere elementi di un campo   (che può essere appunto   oppure  ).

Il dominio (anzi, più precisamente l'insieme di definizione) della funzione è l'insieme di tutti i valori   di   che non sono radici di  . Ovvero, tutti gli   tali che il denominatore   è diverso da zero. Infatti solo per questi valori ha senso dividere   per  .

Ad esempio, la funzione razionale descritta sopra, se considerata sui numeri reali, è definita su tutto   meno il punto  . Se considerata sui numeri complessi, è definita su tutto   meno le tre radici cubiche dell'unità

 

Per comodità, nella discussione che segue si suppone che i polinomi   e   non abbiano radici in comune.

Una funzione è irrazionale quando la variabile indipendente   figura sotto segno di radice:

  • se l'indice è pari il radicando deve essere positivo o nullo: il dominio è costituito da tutti i numeri reali diversi da quelli che rendono il radicando negativo;
  • se l'indice è dispari il radicando può essere anche negativo: il dominio è costituito dall'insieme dei numeri reali.

L'espressione "funzione razionale" è anche usata per descrivere un rapporto fra polinomi con più variabili, come ad esempio:

 

Come sopra, la funzione è definita su tutti i punti di   (dove   è il numero di variabili) per cui il denominatore non si annulla. Tale insieme non è però generalmente un numero finito di punti: si tratta di una più generale varietà affine.

Asintoti

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La funzione razionale   ha due asintoti verticali ed uno obliquo.

Se considerata sui numeri reali, una funzione razionale può avere asintoti, che possono essere agevolmente individuati nel modo seguente.

  • Asintoti verticali: sono le rette  , dove   sono le radici del polinomio   a denominatore.
  • Asintoti orizzontali: sono presenti se e solo se il grado di   è maggiore o uguale al grado di  . Se hanno lo stesso grado l'asintoto orizzontale è la retta  , dove   è uguale al rapporto tra il coefficiente del termine di grado massimo di   e il coefficiente del termine di grado massimo di  , altrimenti l'asintoto è la retta  . Questo è infatti il limite della funzione per  . Quando il grado di   è maggiore del grado di   il limite è infinito.
  • Asintoti obliqui: sono presenti se e solo se il grado di   è pari a quello di   più uno. Il coefficiente angolare dell'asintoto è pari al rapporto fra i coefficienti dei termini di grado massimo dei due polinomi.

Se considerata sui numeri complessi, una funzione razionale presenta un polo su ogni radice di  , di ordine pari all'ordine della radice. Una funzione razionale è quindi una particolare funzione meromorfa   definita sulla sfera di Riemann  . Tra queste, le trasformazioni di Möbius:

 

giocano un ruolo importante in analisi complessa ed in geometria proiettiva. Sono le uniche funzioni meromorfe che inducono una corrispondenza biunivoca sulla sfera di Riemann.

Decomposizione in fratti semplici

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  Lo stesso argomento in dettaglio: Decomposizione in fratti semplici.

La decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale è la scrittura della frazione tramite un polinomio (che può essere nullo) sommato ad una o più frazioni con un denominatore più semplice. Tale metodo fornisce un algoritmo che consente di valutare le primitive di una funzione razionale.

Per illustrare l'idea del procedimento, sia data una funzione razionale  , in cui   e   sono polinomi, e si consideri la fattorizzazione   del denominatore. Per ogni fattore che ha la forma   si considerano le frazioni  , mentre per ogni fattore che ha la forma   si considerano le frazioni:

 

Si ottiene così la scrittura:[1]

 

e calcolando i coefficienti   e   si trova una decomposizione che consente, analizzandone ogni singolo termine, di integrare la frazione di partenza. Essa conduce quindi   ad un'espressione del tipo:

 

dove   e   sono polinomi di grado inferiore rispetto a   e  .

Se si applica la decomposizione fin dove è possibile si ottiene che il denominatore di ogni termine è una potenza di un polinomio non fattorizzabile e il numeratore è un polinomio di grado inferiore di quello del polinomio non fattorizzabile.

  1. ^ (EN) Eric W. Weisstein, Partial Fraction Decomposition, in MathWorld, Wolfram Research.

Bibliografia

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  • (EN) I.I. Priwalow, Einführung in die Funktionentheorie , 1–3 , Teubner (1958–1959)
  • (EN) A.G. Kurosh, Higher algebra , MIR (1972) (Translated from Russian)
  • (EN) J.B. Conway, Functions of one complex variable , Springer (1973)
  • (EN) S. Lang, Algebra , Addison-Wesley (1984)

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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