Rappresentazione di Heisenberg

In fisica, la rappresentazione di Heisenberg è una formulazione della meccanica quantistica in cui gli operatori (osservabili e altri) sono dipendenti dal tempo, mentre gli stati quantici ne sono indipendenti. Questa formulazione contrasta con la rappresentazione di Schrödinger nella quale gli operatori sono costanti e gli stati evolvono nel tempo. I due modelli differiscono solo per un cambio di base rispetto alla dipendenza temporale. La rappresentazione di Heisenberg è la formulazione della meccanica delle matrici in una base arbitraria, nella quale l'operatore hamiltoniano non è necessariamente diagonale.

Werner Karl Heisenberg

Dettagli matematiciModifica

Nella rappresentazione di Heisenberg della meccanica quantistica lo stato quantico   non cambia con il tempo, mentre un'osservabile A è tale da soddisfare

 

dove H è un operatore hamiltoniano e [·,·] è un commutatore di H e AH. In qualche senso, la rappresentazione di Heisenberg è più naturale e fondamentale di quella di Schrödinger, specialmente per quanto riguarda le teorie relativistiche.

Quest'approccio ha una similarità nella fisica classica: sostituendo il commutatore della formula con le parentesi di Poisson, l'equazione di Heisenberg diviene una formulazione generale dell'equazione Hamiltoniana.

Per il teorema di Stone-von Neumann, la rappresentazione di Heisenberg e quella di Schrödinger sono unitariamente equivalenti.

Derivazione dell'equazione di HeisenbergModifica

Il valore atteso di un osservabile A (che è un operatore lineare hermitiano) per uno stato   è dato da:

 

Dall'equazione di Schrödinger

 ,

dove H è un operatore hamiltoniano indipendente dal tempo ed ħ è la costante di Planck divisa per π, segue:

 

Definendo,

 

segue (differenziando seguendo la regola di Leibniz):

 

Si noti che   è la derivata parziale rispetto al tempo di A e non di A(t).

 

L'ultimo passaggio è valido in quanto   commuta con H. Da questa relazione si ha l'equazione di Heisenberg:

 ,

dove [XY] è il commutatore dei due operatori ed è definito come [XY] := XY − YX.

Relazioni dei commutatoriModifica

Naturalmente, le relazioni che esplicitano i commutatori sono differenti dalla rappresentazione di Schrödinger a causa della dipendenza del tempo degli operatori. Ad esempio, si considerino gli operatori   e  . L'evoluzione temporale di questi operatori dipende dall'operatore hamiltoniano del sistema. Per l'oscillatore armonico monodimensionale si ha:

 

L'evoluzione degli operatori di posizione e momento è data da:

 
 

Risolvendo rispetto alle seguenti condizioni iniziali:

 
 

si ha:

 
 

Ora si possono esplicitare i commutatori:

 
 
 

Per  , si ottengono le relazioni di commutazione canoniche  .

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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