Relazione di dispersione

In fisica, la relazione (o legge) di dispersione è una relazione tra l'energia di un sistema e la sua corrispondente quantità di moto. Per esempio, per particelle di massa nello spazio vuoto, la relazione di dispersione può facilmente essere calcolata dalla definizione dell'energia cinetica:

In questo caso la relazione di dispersione è una funzione quadratica.

In caso di fenomeni ondulatori la relazione di dispersione è espressa in termini della frequenza angolare in funzione del vettore d'onda . Ad esempio, la relazione di dispersione della luce è lineare:

dove c è la velocità della luce.

Nella teoria della relatività ristretta, oltre all'energia cinetica, si considera anche l'energia a riposo , dove è la massa a riposo:

,

dove è il fattore di Lorentz e il secondo termine non è altro che la quantità di moto relativistica. Questa relazione è particolarmente utile in regime relativistico, ovvero quando .

In meccanica quantistica le particelle possono essere descritte come onde. Secondo le relazioni proposte da Louis de Broglie l'energia e la quantità di moto sono legate alla frequenza e al vettore d'onda dalla costante , dove h è la costante di Planck:

.

In termini ondulatori, la relazione di dispersione di una particella libera diventa

.

Legge di dispersione per PDEModifica

Per una PDE lineare evolutiva si chiama legge di dispersione il legame che si trova tra   e   quando come soluzione della PDE inserisco l'ansatz  

  • Per l'equazione delle onde  , ottengo che la legge di dispersione è  . Poiché è una relazione lineare e a coefficienti reali, l'equazione delle onde è detta essere non dispersiva.
  • Per l'equazione del calore   (ove   è il coefficiente di diffusione) ho che la legge di dispersione è  . Poiché è una relazione non lineare e a coefficienti complessi, l'equazione del calore è detta essere dissipativa.
  • Per l'equazione di Schrödinger   ho che la legge di dispersione è  .Poiché è una relazione non lineare e a coefficienti reali, l'equazione di Schrödinger è detta essere dispersiva.

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