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In geometria, una trasformazione di Möbius è una funzione

dove e sono numeri complessi con .

La funzione è definita sulla sfera di Riemann, ed è un ingrediente fondamentale della geometria proiettiva e dell'analisi complessa. Si usano anche i termini trasformazione omografica e trasformazione lineare fratta. Il nome è legato al matematico August Ferdinand Möbius.

Indice

DefinizioneModifica

Una trasformazione di Möbius è una funzione

 

definita sulla sfera di Riemann

 

della forma

 

con determinante diverso da zero

 

Automorfismi della sfera di RiemannModifica

EsempiModifica

La condizione sul determinante è necessaria affinché la funzione sia effettivamente definita su tutta la sfera di Riemann. Valgono in particolare le relazioni

 
 
 

Rappresentazione tramite matriciModifica

La trasformazione   è determinata dalla matrice

 

Poiché ha determinante non nullo, la matrice è invertibile. Quindi è un elemento del gruppo generale lineare   composto da tutte le matrici complesse invertibili  .

La rappresentazione tramite matrici è molto comoda, in virtù del fatto seguente: la composizione di due trasformazioni di Möbius, descritte dalle matrici   e  , è anch'essa una trasformazione di Möbius, descritta dalla matrice  .

AutomorfismoModifica

La descrizione tramite matrici mostra che ogni trasformazione di Möbius è una funzione biettiva dalla sfera di Riemann in sé. Infatti, una trasformazione associata alla matrice   ha una inversa, associata alla matrice inversa  .

Per questo motivo una trasformazione di Möbius è chiamata automorfismo. Le trasformazioni di Möbius formano un gruppo, indicato con

 

Struttura di gruppoModifica

La rappresentazione matriciale fornisce un omomorfismo di gruppi

 

L'omomorfismo è suriettivo ma non iniettivo: il nucleo consiste infatti di tutte le matrici della forma  , dove   è la matrice identità e   è un numero complesso. Il primo teorema d'isomorfismo fornisce quindi un isomorfismo di gruppi

 

dove   se e solo se   per qualche  . Il quoziente è indicato con una "P" davanti, perché questa costruzione è identica a quella dello spazio proiettivo di uno spazio vettoriale.

Proprietà basilariModifica

Trasformazioni elementariModifica

Ogni automorfismo di Möbius è ottenuto componendo alcune trasformazioni elementari di questo tipo:

  1.        (traslazione)
  2.           (inversione)
  3.             (omotetia e rotazione)

La traslazione tiene fisso il punto all'infinito e trasla tutti i punti del piano complesso. L'inversione scambia i punti   e  . A proposito della terza trasformazione, scrivendo   in coordinate polari

 

si verifica che è una rotazione di angolo  , composta con una omotetia di fattore  .

Mappe conformiModifica

Un automorfismo di Möbius è una mappa conforme, una mappa cioè che preserva gli angoli. Infatti, ciascuna delle trasformazioni elementari descritte preserva gli angoli. Un automorfismo però non preserva lunghezze o aree.

Rette e circonferenzeModifica

 
L'inversione   manda l'infinito in zero, e quindi le rette (che sono circonferenze passanti per l'infinito) in circonferenze e rette passanti per l'origine.

Una circonferenza nella sfera di Riemann   è una circonferenza di  , oppure una retta di   completata con il punto all'infinito.

L'immagine   di una circonferenza   tramite una funzione di Möbius   è un'altra circonferenza. Le trasformazioni di Möbius mandano quindi circonferenze in circonferenze.

Questa proprietà è verificata dalle trasformazioni elementari (traslazioni, inversioni, rotazioni, omotetie), e per questo motivo è verificata da qualsiasi trasformazione.

BirapportoModifica

Una trasformazione di Möbius   preserva il birapporto   di quattro punti della sfera di Riemann. Vale cioè la relazione

 

Funzione meromorfaModifica

Con il linguaggio dell'analisi complessa, un automorfismo di Möbius è una particolare funzione meromorfa, avente un polo in   di ordine 1.

Trasformazione proiettivaModifica

Con il linguaggio della geometria proiettiva, la sfera di Riemann è identificata con la retta proiettiva complessa   tramite la mappa

 
 

Con questa identificazione, le trasformazioni di Möbius sono esattamente gli isomorfismi proiettivi della retta proiettiva complessa.

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

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