Serie di Bell

In matematica, per serie di Bell si intende una serie formale di potenze utilizzata per studiare le proprietà delle funzioni aritmetiche moltiplicative. Questo genere di serie è stato introdotto e sviluppato da Eric Temple Bell.

Consideriamo una funzione aritmetica $f$ e un numero primo $p$, si definisce come serie di Bell di $f$ modulo $p$ la serie formale di potenze $f_{p}(x)$ espressa come

$f_{p}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.$

Vale un teorema di unicità: date due funzioni moltiplicative $f$ e $g$, accade che $f=g$ se e solo se $f_{p}(x)=g_{p}(x)$ per tutti i primi $p.$

Vale anche un teorema di moltiplicazione: per ogni coppia di funzioni aritmetiche $f$ e $g$, denotiamo con $h=f*g$ la loro convoluzione di Dirichlet. Allora per ogni numero primo $p$ si ha

$h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).$

In particolare, questo rende agevole trovare la serie di Bell di una serie di una inversa di Dirichlet.

Se $f$ è una funzione completamente moltiplicativa, allora

$f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.$

Esempi

Il seguente elenco presenta le serie di Bell delle funzioni aritmetiche più note.

• Funzione di Möbius: $\mu _{p}(x)=1-x.$
• Funzione toziente di Eulero: $\phi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.$
• Funzione di Liouville: $\lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.$
• Funzione potenza $k$-esima (con $k$ intero non negativo): $({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.$
• Funzione sigma: $(\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-\sigma _{k}(p)x+p^{k}x^{2}}}.$

Bibliografia

• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2.16).