Ox
modifica
La simmetria rispetto all'asse delle ascisse
O
x
{\displaystyle Ox}
S
x
:
C
⟶
C
z
⟼
z
′
=
z
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'={\overline {z}}\end{aligned}}}
che associa ad ogni numero complesso
z
{\displaystyle z}
complesso coniugato
z
′
=
z
¯
{\displaystyle z'={\overline {z}}}
Infatti, scritto il numero complesso in forma trigonometrica,
z
=
ρ
(
cos
ϑ
+
i
sin
ϑ
)
{\displaystyle z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )}
z
′
=
z
¯
=
ρ
(
cos
(
−
ϑ
)
+
i
sin
(
−
ϑ
)
)
=
ρ
e
−
i
ϑ
{\displaystyle z'={\overline {z}}=\rho (\cos(-\vartheta )+i\sin(-\vartheta ))=\rho e^{-i\vartheta }}
che, rappresentato nel piano cartesiano , coincide proprio con il simmetrico di
z
{\displaystyle z}
O
x
{\displaystyle Ox}
Quindi:
passare da un numero complesso
z
{\displaystyle z}
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
P
(
z
)
{\displaystyle P(z)}
O
x
{\displaystyle Ox}
.
Oy
modifica
La simmetria rispetto all'asse delle ordinate
O
y
{\displaystyle Oy}
S
y
:
C
⟶
C
z
⟼
z
′
=
−
z
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{y}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-{\overline {z}}\end{aligned}}}
che associa ad ogni numero complesso
z
{\displaystyle z}
coniugato
z
′
=
−
z
¯
{\displaystyle z'=-{\overline {z}}}
Infatti se
z
=
ρ
(
cos
ϑ
+
i
sin
ϑ
)
{\displaystyle z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )}
z
′
=
−
z
¯
=
e
i
π
z
¯
=
ρ
(
cos
(
−
ϑ
+
π
)
+
i
sin
(
−
ϑ
+
π
)
)
=
ρ
e
i
(
−
ϑ
+
π
)
{\displaystyle z'=-{\overline {z}}=e^{i\pi }{\overline {z}}=\rho (\cos(-\vartheta +\pi )+i\sin(-\vartheta +\pi ))=\rho e^{i(-\vartheta +\pi )}}
che, rappresentato nel piano cartesiano , coincide proprio con il simmetrico di
z
{\displaystyle z}
O
y
{\displaystyle Oy}
Quindi:
passare da un numero complesso
z
{\displaystyle z}
−
z
¯
{\displaystyle -{\overline {z}}}
P
(
z
)
{\displaystyle P(z)}
O
y
{\displaystyle Oy}
.
y=x
modifica
La trasformazione
S
y
=
x
:
C
⟶
C
z
⟼
z
′
=
i
z
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{y=x}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=i{\overline {z}}\end{aligned}}}
che associa ad ogni numero complesso
z
{\displaystyle z}
i
z
¯
{\displaystyle i{\overline {z}}}
y
=
x
{\displaystyle y=x}
Infatti se
z
=
ρ
(
cos
ϑ
+
i
sin
ϑ
)
{\displaystyle z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )}
piano cartesiano di
z
′
=
i
z
¯
=
e
i
π
2
z
¯
=
ρ
(
cos
(
−
ϑ
+
π
2
)
+
i
sin
(
−
ϑ
+
π
2
)
)
=
ρ
e
i
(
−
ϑ
+
π
2
)
{\displaystyle z'=i{\overline {z}}=e^{i{\pi \over 2}}{\overline {z}}=\rho \left(\cos \left(-\vartheta +{\pi \over 2}\right)+i\sin \left(-\vartheta +{\pi \over 2}\right)\right)=\rho e^{i(-\vartheta +{\pi \over 2})}}
coincide con il simmetrico di
z
{\displaystyle z}
y
=
x
{\displaystyle y=x}
Quindi:
passare da un numero complesso
z
{\displaystyle z}
i
z
¯
{\displaystyle i{\overline {z}}}
P
(
z
)
{\displaystyle P(z)}
y
=
x
{\displaystyle y=x}
.
y=-x
modifica
La trasformazione
S
y
=
−
x
:
C
⟶
C
z
⟼
z
′
=
−
i
z
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{y=-x}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-i{\overline {z}}\end{aligned}}}
che associa ad ogni numero complesso
z
{\displaystyle z}
−
i
z
¯
{\displaystyle -i{\overline {z}}}
y
=
−
x
{\displaystyle y=-x}
Infatti se
z
=
ρ
(
cos
ϑ
+
i
sin
ϑ
)
{\displaystyle z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )}
piano cartesiano di
z
′
=
−
i
z
¯
=
e
i
3
2
π
z
¯
=
ρ
(
cos
(
−
ϑ
+
3
2
π
)
+
i
sin
(
−
ϑ
+
3
2
π
)
)
=
ρ
e
i
(
−
ϑ
+
3
2
π
)
{\displaystyle z'=-i{\overline {z}}=e^{i{3 \over 2}\pi }{\overline {z}}=\rho \left(\cos \left(-\vartheta +{3 \over 2}\pi \right)+i\sin \left(-\vartheta +{3 \over 2}\pi \right)\right)=\rho e^{i(-\vartheta +{3 \over 2}\pi )}}
coincide con il simmetrico di
z
{\displaystyle z}
y
=
−
x
{\displaystyle y=-x}
Quindi:
passare da un numero complesso
z
{\displaystyle z}
−
i
z
¯
{\displaystyle -i{\overline {z}}}
P
(
z
)
{\displaystyle P(z)}
y
=
−
x
{\displaystyle y=-x}
.
y=y0
modifica
Dato
ω
0
=
2
y
0
i
{\displaystyle \omega _{0}=2y_{0}i}
S
y
=
y
0
:
C
⟶
C
z
⟼
z
′
=
z
¯
+
ω
0
=
z
¯
+
2
y
0
i
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{y=y_{0}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'={\overline {z}}+\omega _{0}={\overline {z}}+2y_{0}i\end{aligned}}}
che associa ad ogni numero complesso
z
{\displaystyle z}
numero complesso
z
¯
+
2
y
0
i
{\displaystyle {\overline {z}}+2y_{0}i}
y
=
y
0
{\displaystyle y=y_{0}}
Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione di coniugato , che realizza la simmetria rispetto all'asse delle
x
{\displaystyle x}
Se
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
z
¯
=
x
−
i
y
{\displaystyle {\overline {z}}=x-iy}
e
z
¯
+
2
y
0
i
=
x
−
i
y
+
2
y
0
i
=
x
+
i
(
2
y
0
−
y
)
{\displaystyle {\overline {z}}+2y_{0}i=x-iy+2y_{0}i=x+i(2y_{0}-y)}
il che equivale a
{
x
′
=
x
y
′
=
2
y
0
−
y
,
{\displaystyle {\begin{cases}x'=x\\y'=2y_{0}-y,\end{cases}}}
equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta
y
=
y
0
{\displaystyle y=y_{0}}
Quindi:
passare da un numero complesso
z
{\displaystyle z}
z
′
=
z
¯
+
2
y
0
i
{\displaystyle z'={\overline {z}}+2y_{0}i}
P
(
z
)
{\displaystyle P(z)}
y
=
y
0
{\displaystyle y=y_{0}}
.
x=x0
modifica
Dato
t
=
2
x
0
i
{\displaystyle t=2x_{0}i}
S
x
=
x
0
:
C
⟶
C
z
⟼
z
′
=
−
z
¯
+
t
=
−
z
¯
+
2
x
0
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{x=x_{0}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-{\overline {z}}+t=-{\overline {z}}+2x_{0}\end{aligned}}}
che associa ad ogni numero complesso
z
{\displaystyle z}
−
z
¯
+
2
x
0
i
{\displaystyle -{\overline {z}}+2x_{0}i}
simmetria rispetto alla retta
x
=
x
0
{\displaystyle x=x_{0}}
.
Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione dell'opposto del coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle
y
{\displaystyle y}
Se
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
z
¯
=
x
−
i
y
{\displaystyle {\overline {z}}=x-iy}
e
−
z
¯
+
2
x
0
i
=
−
x
+
i
y
+
2
x
0
i
=
(
2
x
0
−
x
)
+
i
y
{\displaystyle -{\overline {z}}+2x_{0}i=-x+iy+2x_{0}i=(2x_{0}-x)+iy}
il che equivale a
{
x
′
=
2
x
0
−
x
y
′
=
y
,
{\displaystyle {\begin{cases}x'=2x_{0}-x\\y'=y,\end{cases}}}
equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta
x
=
x
0
{\displaystyle x=x_{0}}
Quindi:
passare da un numero complesso
z
{\displaystyle z}
z
′
=
−
z
¯
+
2
x
0
{\displaystyle z'=-{\overline {z}}+2x_{0}}
P
(
z
)
{\displaystyle P(z)}
x
=
x
0
{\displaystyle x=x_{0}}
.
