Simmetria assiale nel piano complesso

Lo studio della simmetria assiale nel piano complesso viene proposto attraverso alcuni casi particolari.

Casi particolariModifica

Simmetria rispetto all'asse delle ascisse  Modifica

La simmetria rispetto all'asse delle ascisse   è la trasformazione:

 

che associa ad ogni numero complesso   il suo complesso coniugato  .

Infatti, scritto il numero complesso in forma trigonometrica,  , si ottiene che

 

che, rappresentato nel piano cartesiano, coincide proprio con il simmetrico di   rispetto all'asse delle ascisse  .

 

Quindi:

passare da un numero complesso   al suo coniugato   significa applicare al punto   la simmetria rispetto all'asse delle ascisse  .

Simmetria rispetto all'asse delle ordinate  Modifica

La simmetria rispetto all'asse delle ordinate   è la trasformazione:

 

che associa ad ogni numero complesso   l'opposto del suo coniugato  .

Infatti se  ,

 

che, rappresentato nel piano cartesiano, coincide proprio con il simmetrico di   rispetto all'asse delle ordinate  

Quindi:

passare da un numero complesso   all'opposto del suo coniugato   significa applicare al punto   la simmetria rispetto all'asse delle ordinate  .

Simmetria rispetto alla bisettrice  Modifica

La trasformazione

 

che associa ad ogni numero complesso   il prodotto   rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante  .

Infatti se  , la rappresentazione nel piano cartesiano di

 

coincide con il simmetrico di   rispetto alla bisettrice  .

 

Quindi:

passare da un numero complesso   al prodotto   significa applicare al punto   la simmetria rispetto alla retta  , bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Simmetria rispetto alla bisettrice  Modifica

La trasformazione

 

che associa ad ogni numero complesso   il prodotto   rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante  .

Infatti se  , la rappresentazione nel piano cartesiano di

 

coincide con il simmetrico di   rispetto alla bisettrice  .

Quindi:

passare da un numero complesso   al prodotto   significa applicare al punto   la simmetria rispetto alla retta  , bisettrice del secondo e del quarto quadrante.

Simmetria rispetto alla retta  Modifica

Dato  , la trasformazione

 

che associa ad ogni numero complesso   il numero complesso   rappresenta la simmetria rispetto alla retta  .

Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione di coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle  , e la somma di numeri complessi, che realizza la traslazione.

Se  , allora

 

e

 

il che equivale a

 

equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta  .

Quindi:

passare da un numero complesso   al numero complesso   significa applicare al punto   la simmetria rispetto alla retta di equazione  .

Simmetria rispetto alla retta  Modifica

Dato  , la trasformazione

 

che associa ad ogni numero complesso   il numero complesso   rappresenta la simmetria rispetto alla retta  .

Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione dell'opposto del coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle  , e la somma di numeri complessi, che realizza la traslazione.

Se  , allora

 

e

 

il che equivale a

 

equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta  .

Quindi:

passare da un numero complesso   al numero complesso   significa applicare al punto   la simmetria rispetto alla retta di equazione  .

Voci correlateModifica

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