Onda sinusoidale

(Reindirizzamento da Sinusoide)
Grafico del seno (in rosso) e del coseno (in blu)

In fisica, un'onda sinusoidale è un'onda descritta matematicamente dalla funzione seno. Una sinusoide o curva sinusoidale è la curva rappresentata dal grafico del seno. Una sinusoide è analoga alla curva relativa alla funzione coseno, detta cosinusoide, sfasata di .

Indice

DefinizioneModifica

Un'onda sinusoidale è un'onda di tipo sinusoidale cioè che la variabile   è una funzione della forma:

 

dove   è l'ampiezza, mentre:

 

è la pulsazione (o velocità angolare, indica quanti periodi ci sono in un intervallo di  ). Inoltre:

 

è la frequenza, che indica quante volte in un'unità di tempo la funzione si ripete, e:

 

è il periodo, con   oppure   la fase.

Il grafico di una tale classe di funzioni è compreso tra le rette   e  .

Poiché si tratta di una funzione periodica, detto   il periodo si ha:

 

CaratteristicheModifica

 
Onda che può essere rappresentata da un semplice moto armonico. Secondo il teorema di Fourier ogni onda può essere scritta come sommatoria (eventualmente infinita) di semplici onde armoniche

Usando la formula di Eulero, un'onda sinusoidale può essere rappresentata come la parte reale della funzione:

 

dove   è il vettore d'onda, che identifica la direzione di propagazione dell'onda al posto della velocità di propagazione. Il suo modulo è chiamato pulsazione spaziale, ed è legato alla lunghezza d'onda dalla relazione:

 

Lo scalare   è l'ampiezza dell'onda, e rappresenta il massimo valore della grandezza rappresentativa dell'onda in un periodo. Il termine   rappresenta la fase iniziale dell'onda.

Le onde sinusoidali sono una soluzione particolare dell'equazione delle onde. L'onda è una funzione dello spazio e tempo, per cui un'onda monodimensionale associa ad ogni posizione spaziale   e ad ogni tempo   un'ampiezza di oscillazione   attorno alla posizione di equilibrio:

 

Sono possibili perciò due punti di vista:

  • Scegliendo di valutare la dimensione temporale (  è fissato), si esprime l'oscillazione   in dipendenza dal tempo   come  .
  • Scegliendo di focalizzare l'attenzione sullo stato di un mezzo perturbato in un certo istante (  è fissato) si ha l'"istantanea" dell'onda, cioè la forma d'onda (il suo profilo al tempo fissato di osservazione). L'oscillazione   può essere espressa in funzione della posizione   come  .

In entrambi i casi si può partire dalla dipendenza co-sinusoidale delle variabili nel moto armonico, ricavate considerando quest'ultimo come una opportuna proiezione di un moto circolare uniforme:

 

dove   è l'ampiezza dell'oscillazione e   è la fase iniziale. Attribuendo a   un valore di 90 gradi si può passare da una forma in coseno ad una in seno, quindi le espressioni sono equivalenti. L'espressione è in   per attuare la "visualizzazione" dell'oscillazione lungo l'asse verticale del sistema coordinato.

Fissando la variabile   si ha:

 

dove   è il periodo dell'onda. La fase iniziale è nulla, e se la perturbazione sul mezzo si propaga dall'inizio muovendosi con velocità di fase   allora essa raggiungerà un altro punto (a destra dell'origine) ad una certa distanza   dopo un tempo:

 

Ciò significa che il punto alla coordinata   avrà, al tempo  , uno spostamento verticale uguale a quello che aveva il punto iniziale t1 secondi prima. La propagazione è quindi descritta dall'espressione:

 

Raccogliendo   si può passare ad una forma più comune che talvolta si trova sui testi:

 

Se si chiama numero d'onda   la quantità  , e se la pulsazione è  , il rapporto già noto dallo studio del moto circolare   consente di pervenire formalmente all'equazione delle onde armoniche:

 

Se all'espressione in coseno iniziale si fosse aggiunta una fase di 90° si sarebbe ottenuta un'espressione in seno negativo poiché  , e questo avrebbe portato a un'espressione sinusoidale con i segni interni invertiti, cioè  , che talvolta viene presentata sui testi.

Considerando il secondo caso dell'elenco sopra, ad un tempo fissato:

 
 
Profilo di un'onda sinusoidale progressiva che varia nel tempo,  

Si è espresso il tempo come  , sostituendo ed usando la relazione fondamentale delle onde   (la lunghezza d'onda è lo spazio percorso da un'onda con velocità di fase   in un periodo  ): in ogni caso, quel che conta è che si ottiene una cosinusoide di periodo spaziale   dipendente solo dalla posizione  . Se l'impulso si sta muovendo lungo l'asse delle ascisse, inducendo una oscillazione sulle ordinate, ad un certo istante successivo a quello fissato il punto alla certa coordinata   avrà una elevazione uguale a quella del punto   da cui l'impulso è partito   secondi prima. L'onda si propaga quindi (verso destra) con un profilo dato da:

 

mentre si sarebbe dovuta considerare una espressione in parentesi tonda del tipo   se si fosse voluta descrivere la propagazione verso sinistra. Esprimendo   e sostituendo, si ha l'espressione:

 

che considerando la relazione goniometrica   è analoga a quella ottenuta in precedenza (perché si cambiano i segni dell'argomento).

BibliografiaModifica

  • (EN) M. Abramowitz, I.A. Stegun, "Handbook of mathematical functions" , Dover, reprint (1972) pp. §4.3

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica