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Esempio di una funzione periodica. Con P è indicato il periodo.

In matematica, a livello intuitivo, per funzione periodica si intende una funzione che assume valori che si ripetono esattamente a "intervalli" regolari.

Indice

DefinizioneModifica

Una funzione   definita su un gruppo abeliano   è periodica di periodo  , con  , se   per ogni  .

Funzioni di variabile realeModifica

Le funzioni periodiche più note sono le funzioni reali di variabile reale. Formalmente, una funzione reale   si dice periodica di periodo   se esiste un numero reale   tale che

  • il dominio   è invariante per traslazione di  , ovvero  
  • la funzione   è invariante per traslazione di  , ovvero per ogni   si ha  .

ModuliModifica

Se   è periodica di periodo   ed è periodica di periodo  , allora è periodica di ogni periodo

 .

L'insieme   dei periodi   di   è quindi uno  -modulo.

  • Se  , ovvero se   ha il solo periodo  , allora   è detta aperiodica.
  • Se   è un modulo libero di dimensione  , ovvero se   con  , ovvero se esiste un minimo tra i periodi  , allora   è detta periodica di periodo minimo  , o periodica di periodo   in senso stretto.
  • Il modulo   non è necessariamente libero di dimensione   o  , ovvero potrebbe non esistere un minimo periodo strettamente positivo; ad esempio, la funzione di Dirichlet ha   e non è né aperiodica né periodica in senso stretto.

ProprietàModifica

La somma e il prodotto di due funzioni periodiche di periodo  , aventi lo stesso dominio, sono funzioni periodiche di periodo  .

Domini limitatiModifica

Da ogni funzione a valori reali definita su un dominio limitato si può definire una funzione periodica, di periodo maggiore o uguale all'ampiezza del dominio. Ad esempio, la funzione identità ristretta all'intervallo  ,

 

definisce una funzione periodica di periodo 1 definita su tutti i reali: la parte frazionaria

 

EsempiModifica

  • Le funzioni trigonometriche seno e coseno sono periodiche di periodo minimo  .
  • Sono quindi automaticamente periodiche le funzioni:
    •   e  , che hanno periodo minimo  ;
    •   e  , che hanno periodo minimo  .

Funzioni doppiamente periodicheModifica

Una funzione può ammettere due o più periodi non commensurabili (la definizione dipende dalle caratteristiche che si richiedono al dominio).

Ad esempio, una funzione ellittica è una funzione doppiamente periodica:

è definita dall'insieme dei numeri complessi in sé,  
è periodica rispetto a due periodi,  
questi due periodi sono "incommensurabili",  

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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