Sottogruppo derivato

In algebra, in particolare in teoria dei gruppi, il sottogruppo derivato di un gruppo è il sottogruppo generato dai suoi commutatori.

Il derivato di un gruppo si denota solitamente con o , mentre l'iterata -esima della derivazione di si denota con .

Definizione

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Sia   un gruppo,  . Il commutatore di   e   (in quest'ordine!) si definisce come  . Sia  l'insieme dei commutatori di  . Il derivato   si definisce come il sottogruppo generato da  , ovvero il più piccolo sottogruppo di   che contiene  .

Proprietà

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Il sottogruppo derivato   è un sottogruppo caratteristico di  . Infatti, se   è un automorfismo di  , allora

 ,

cioè l'insieme dei commutatori (e quindi il sottogruppo che esso genera, ovvero il sottogruppo derivato) è fissato da ogni automorfismo.

In quanto caratteristico, il derivato è quindi normale in  , ed è ben definito il gruppo quoziente  . È chiaro dalle definizioni che   è sempre abeliano. Tale quoziente viene detto abelianizzato di  .

Un gruppo è abeliano se e solo se il suo derivato è il gruppo banale. Un sottogruppo normale   fornisce un quoziente   abeliano se e solo se  . In altre parole,   è il minimo sottogruppo per cui bisogna quozientare per ottenere un quoziente abeliano.

Applicazioni

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Un'importante applicazione del concetto di derivato di un gruppo è il seguente criterio per la risolubilità di un gruppo finito: se   è un gruppo finito, allora   è risolubile se e solo se la serie dei derivati

 

termina al gruppo banale, cioè se e solo se esiste   per cui  .

La risolubilità di un gruppo ha conseguenze importanti non solo in teoria dei gruppi, ma anche in sue applicazioni ad esempio alla teoria di Galois. Si veda a tale proposito il concetto di risolubilità per radicali.

Bibliografia

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  • S. Bosch, Algebra, Springer-Verlag, 2003.
  • A. Machì, Gruppi. Una Introduzione a Idee e Metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2007.
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