Disuguaglianza: differenze tra le versioni

Gli stessi simboli possono essere utilizzati per "confrontare" due funzioni [[funzioneFunzione (matematica)#Operazioni elementari su funzioni di variabile reale a valori reali|a valori reali]].

La disuguaglianza in senso largo si indica con le scritture equivalenti <math>a\geqslant b</math> e <math>b\leqslant a</math>, che si leggono "''<math>a''</math> è '''maggiore o uguale''' a ''<math>b''</math>" e "''<math>b''</math> è '''minore o uguale''' ad ''<math>a''</math>".

La disuguaglianza in senso stretto si indica invece le scritture equivalenti <math>a>b</math> e <math>b<a</math>, lette "''<math>a''</math> è '''maggiore''' di ''<math>b''</math>" e "''<math>b''</math> è '''minore''' di ''<math>a''</math>".

Questa notazione può essere confusa con la notazione graficamente simile ''<math>a'' ≫\gg ''b''</math> (o ''<math>b'' ≪\ll ''a''</math>), utilizzata con due diversi significati: sia per indicare che un numero è ''sufficientemente'' più grande di un altro ("''<math>a''</math> è molto maggiore di ''<math>b''</math>"), sia per indicare che una funzione è [[O-grande|asintoticamente più grande]] di un'altra ("''<math>a''</math> domina ''<math>b''</math>"). In entrambi i casi non è una disuguaglianza, ma solamente una relazione d'ordine [[ordinamento parziale|parziale]], ovvero può non permettere di confrontare tra loro due distinti elementi dell'insieme.

* per ogni tre [[Numero reale|numeri reali]] ''<math>a'', ''b''</math> e ''<math>c''</math> sono equivalenti: ''<math>a'' > ''b''</math>, ''<math>a'' + ''c'' > ''b'' + ''c''</math>, ''<math>a'' − ''-c'' > ''b'' − ''-c''</math>.

Questa proprietà indica che confrontare due numeri ''<math>a''</math> e ''<math>b''</math> è equivalente a verificare se la loro differenza ''<math>a-b''</math> è positiva o negativa, ovvero a confrontare ''<math>a-b''</math> e ''<math>0''</math>. Inoltre ''<math>a>0''</math> equivale a ''<math>-a<0''</math>, così come ''<math>a>b''</math> equivale a ''<math>-a<-b''</math>.

* per ogni terna di [[numero reale|numeri reali]] ''<math>a'', ''b''</math> e ''<math>c''</math>,

** se ''<math>c>0''</math> allora sono equivalenti: ''<math>a>b''</math>, ''<math>ac>bc''</math>, ''<math>a/c>b/c''</math>;

** se ''<math>c<0''</math> allora sono equivalenti: ''<math>a>b''</math>, ''<math>ac<bc''</math>, ''<math>a/c<b/c''</math>.

Per la precedente proprietà, la seconda riga equivale alla prima, scrivendo ''<math>-c''</math> al posto di ''<math>c''</math>.

A volte si abusa della notazione per la disuguaglianza, scrivendo ''<math>f>0''</math> anche quando ''<math>f''</math> è una [[funzione a valori reali]]. Con questa notazione si intende che ''<math>f''</math> assume solo valori strettamente positivi, ovvero che ''<math>f(x)>0''</math> per ogni ''<math>x''</math> nel dominio di ''<math>f''</math>. Nello stesso modo, ''<math>f>g''</math> indica che ''<math>f-g>0''</math>, ovvero che ''<math>f(x)>g(x)''</math> per ogni ''<math>x''</math> nel comune dominio di ''<math>f''</math> e ''<math>g''</math>. Lo stesso capita con la disuguaglianza in senso largo.