Singolarità isolata: differenze tra le versioni

In [[matematica]], e più precisamente in [[analisi complessa]], una '''singolarità isolata''' è un punto in cui una [[funzione olomorfa]] non è definita mentre risulta definita in ogni altro punto vicino. La funzione olomorfa può avere nel punto essenzialmente tre tipi di comportamenti diversi, e a seconda del comportamento la singolarità è detta '''eliminabile''', '''[[polo (analisi complessa)|polo]]''' o '''essenziale'''.

 

Ad esempio, la funzione

:<math>f(z) = \frac {\sin(z)}{z}</math>

 

=== Polo ===

definita su <math>\mathbb C \setminus\{0\} </math> ha una singolarità essenziale in <math> 0 </math>. Infatti lo sviluppo di Laurent è

:<math> f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac {\,z^{-n}}{n!} </math>

 

Anche il fatto che la funzione <math> f(z) = e^\frac 1z </math> non ammetta limite per <math>z</math> che tende a 0

Sia <math> k </math> un [[numero intero]]. Moltiplicando la funzione <math> f(z) </math> per <math>(z-z_0)^k </math>, i coefficienti della serie di Laurent centrata in <math> z_0 </math> vengono traslati di <math> k </math> posti (a sinistra o a destra a seconda del segno di <math>k </math>). In questo modo è possibile modificare l'ordine di un polo, trasformare ogni polo in singolarità eliminabile, oppure viceversa creare poli a partire da singolarità eliminabili.

 

 

=== Singolarità essenziale ===

* [[Punto fuchsiano]]

* [[Residuo (analisi complessa)]]

 

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Analisi complessa]]