Singolarità isolata

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In matematica, e più precisamente in analisi complessa, una singolarità isolata è un punto in cui una funzione olomorfa non è definita mentre risulta definita in ogni altro punto vicino. La funzione olomorfa può avere nel punto essenzialmente tre tipi di comportamenti diversi, e a seconda del comportamento la singolarità è detta eliminabile, polo o essenziale.

DefinizioneModifica

Sia   un punto contenuto in un insieme aperto   del piano complesso. Una funzione

 

ha una singolarità isolata in   se esiste un intorno   di   per cui la funzione è olomorfa in  . Quindi la funzione non è definita in  , mentre in ogni altro punto sufficientemente vicino è definita e differenziabile in senso complesso.

Sviluppo in serie di LaurentModifica

La funzione   ammette uno sviluppo come serie di Laurent nel punto  . La funzione è quindi scrivibile in un intorno del punto come serie

 

Si distinguono generalmente tre tipi di comportamento della   vicino al punto di singolarità  . Ciascuno di questi è determinato dallo sviluppo locale in serie di Laurent, oppure dal comportamento del modulo   vicino al punto.

Si noti che la tipologia di singolarità non è univocamente determinata dalla serie di Laurent locale se essa ha raggio di convergenza positivo.

Singolarità eliminabileModifica

La singolarità   è eliminabile se esiste il limite

 

Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

  • I termini negativi della serie di Laurent sono tutti nulli, cioè   per ogni  .
  • Il modulo   è limitato in un intorno di  ,
  • La funzione si estende ad una funzione continua su tutto  ,
  • La funzione si estende ad una funzione olomorfa su tutto  .

Esempio: la funzione   presenta una singolarità eliminabile in  .

PoloModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Polo (analisi complessa).

La singolarità   è un polo se esiste un numero naturale   tale che esiste il limite

 

con  . Il numero   è l'ordine o molteplicità del polo. Un polo di ordine 1 è detto semplice.

Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

  • Esiste solo un numero finito (diverso da zero) di termini negativi non nulli della serie di Laurent. Cioè, esiste   tale che   e   per ogni  .
  • Il modulo   tende a   se   tende a  ,
  • La funzione   è definita in un intorno di   ed ha una singolarità eliminabile in  .

Esempio: la funzione   presenta un polo di ordine 2 ( ), detto anche polo doppio, in  .

Singolarità essenzialeModifica

Una singolarità essenziale è una singolarità che non rientra nei casi precedenti, cioè che non sia né una singolarità eliminabile né un polo. Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

  • Esiste un numero infinito di termini negativi non nulli della serie di Laurent. Cioè, per ogni   esiste un   con  .
  • Il modulo   non ha limite per   tendente a  

Esempio: la funzione   presenta una singolarità essenziale in  .

EsempiModifica

Ogni funzione

 

scritta come rapporto di due polinomi è definita nell'aperto   ottenuto rimuovendo da   le radici   di  . Se queste non sono anche radici di  , in ogni   la funzione ha un polo, il cui ordine è pari alla molteplicità della radice.

La funzione

 

definita su   ha una singolarità essenziale in  . Infatti lo sviluppo di Laurent è

 

che ha infiniti termini negativi non nulli.

Anche il fatto che la funzione   non ammetta limite (finito o infinito) per   che tende a 0 è sufficiente per dimostrare l'essenzialità della singolarità.

ProprietàModifica

Traslazione della serie di LaurentModifica

Sia   un numero intero. Moltiplicando la funzione   per  , i coefficienti della serie di Laurent centrata in   vengono traslati di   posti (a sinistra o a destra a seconda del segno di  ). In questo modo è possibile modificare l'ordine di un polo, trasformare ogni polo in singolarità eliminabile, oppure viceversa creare poli a partire da singolarità eliminabili.

Se la singolarità è essenziale, rimane tale anche dopo la moltiplicazione per  .

Singolarità essenzialeModifica

Una funzione vicino ad una singolarità essenziale è estremamente discontinua. Per il Teorema di Casorati-Weierstrass, l'immagine   di ogni intorno aperto   di   è un aperto denso del piano complesso. Il teorema di Picard afferma di più:   è tutto il piano complesso, oppure il piano tranne un punto.

Da questo segue ad esempio che per ogni numero complesso   esiste una successione di punti   convergenti a   tali che  . In altre parole, la funzione intorno a   "converge a qualsiasi cosa".

Singolarità all'infinitoModifica

Per una funzione intera

 

(o più in generale una funzione olomorfa definita sul complementare di un compatto di  ) è possibile parlare di singolarità all'infinito. Questa è la singolarità in   della funzione

 

definita come  . In particolare, la singolarità all'infinito può essere eliminabile, un polo o essenziale. Si può studiare una singolarità all'infinito di una funzione   cambiando la variabile:

 

allora il punto all'infinito diventa l'origine e acquisisce il tipo di singolarità della funzione   nel punto  .

Il Teorema di Liouville dice che una funzione intera avente singolarità eliminabile all'infinito è costante.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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