Estremo superiore e estremo inferiore

In matematica, l'estremo superiore di un insieme $E$ contenuto in un insieme ordinato $X$ è il più piccolo elemento dei maggioranti di $E$ .

In modo duale, l'estremo inferiore di $E$ è definito come il più grande elemento dei minoranti di $E$ .

Estremo superiore e inferiore possono appartenere ad $E$ oppure no. Nel primo caso essi coincidono con il suo massimo e minimo. In generale il concetto di massimo e di estremo superiore non coincidono e non vanno confusi.

I concetti di estremo superiore e inferiore sono applicabili ad ogni struttura matematica per la quale è chiaro cosa si intende per un elemento essere "maggiore o uguale" di un altro elemento. Quindi il concetto di estremo superiore si applica agli insiemi ordinati, per esempio sottoinsiemi di numeri reali, razionali, naturali, ma non per esempio di numeri complessi.

Definizione modifica

Siano $(X,\leq )$ un insieme totalmente ordinato, $E\subseteq X$ . Se esiste un elemento $y\in X$ tale che:

$y$ è un maggiorante di $E$
$\nexists z\in X$ tale che $z$ è un maggiorante di $E$ e $z<y$ (cioè il maggiorante più piccolo è $y$ stesso)

si dice che $y$ è estremo superiore di $E$ , in simboli $y=\sup E$ .

Se invece esiste un elemento $x\in X$ tale che:

$x$ è un minorante di $E$
$\nexists a\in X$ tale che $a$ è un minorante di $E$ e $a>x$ (cioè il minorante più grande è $x$ stesso)

si dice che $x$ è estremo inferiore di $E$ , in simboli $x=\inf E$ . Se l'insieme dei maggioranti di un insieme è non vuoto l'insieme si dice limitato superiormente, mentre se l'insieme dei minoranti è non vuoto l'insieme si dice limitato inferiormente. Ovviamente, se esiste l'estremo inferiore, allora l'insieme è limitato inferiormente, mentre se esiste l'estremo superiore l'insieme è limitato superiormente. Un insieme limitato superiormente e inferiormente si dice limitato.

Sottoinsiemi della retta reale modifica

Se si considera un insieme $E\subseteq \mathbb {R} ^{*}$ della retta reale estesa, questo ha sicuramente estremo superiore ed estremo inferiore. Ciò è garantito dall'assioma di Dedekind, che garantisce che ogni sottoinsieme non vuoto di $\mathbb {R}$ è completo e dalla convenzione che, se $E$ non è limitato superiormente (inferiormente) in $\mathbb {R}$ , si dice che il suo estremo superiore (inferiore) è infinito: $\sup E=+\infty$ e/o $\inf E=-\infty$ .

Esempi modifica

Gli insiemi seguenti sono da considerarsi come sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali.

$\sup\{1,2,3\}=3$

In questo caso l'estremo superiore coincide col massimo. Si ha che $3$ è l'estremo superiore perché è un maggiorante dell'insieme e ogni numero reale minore di $3$ non è maggiorante dell'insieme;

$\inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\inf(0,1)=0$

L'insieme ha estremo inferiore, ma non ha minimo, infatti $0$ non appartiene all'insieme;

$\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=\sup[0,1]=1$

L'insieme ha estremo superiore e massimo coincidenti;

$\inf\{y\in \mathbb {R} :y=1/x,x>0\}=\inf(0,\infty )=0$

anche in questo caso l'estremo inferiore non appartiene all'insieme e l'insieme non ha minimo. Si noti che l'estremo inferiore coincide con il limite della funzione monotona $1/x$ per $x\to \infty$

$\sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 4\}=2$

l'estremo superiore coincide con il massimo;

$\sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<4\}=2$

come prima ma l'insieme non ha massimo;

$\sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 2\}={\sqrt {2}}$

in quest'ultimo caso l'insieme è limitato superiormente ma l'estremo superiore non coincide con il massimo, poiché l'insieme non ha massimo.

Completezza ed esistenza modifica

Se un insieme non è completo può essere che un sottoinsieme limitato superiormente non ammetta estremo superiore. Per esempio, sia $E\subseteq \mathbb {Q}$ definito come:

\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 2\}

Questo insieme è sicuramente limitato superiormente poiché se $x\in \mathbb {Q}$ e $x\geq 2$ , $x$ è maggiorante di $E$ . L'insieme però non ha estremo superiore ( ${\sqrt {2}}$ non appartiene a $\mathbb {Q}$ ). Si noti che questo esempio è diverso dall'ultimo esempio della sezione precedente, perché prima si ricercava l'estremo superiore in un insieme completo, $\mathbb {R}$ , ora no. Si è dimostrato che per quanto riguarda spazi non completi esistono sottoinsiemi limitati superiormente ma che non ammettono estremo superiore.

Notazioni modifica

Spesso si incontrano notazioni del tipo:

y=\inf _{x\in A}f(x)

dove $f$ è una funzione a valori reali su un dominio qualsiasi e $A$ è un sottoinsieme del suo dominio. Questa notazione è un modo compatto per esprimere:

y=\inf\{z=f(x),x\in A\}

indica cioè l'estremo inferiore dell'immagine di $A$ mediante $f$ .

Esempi modifica

Un primo esempio è

\sup _{x\in \mathbb {R} }x^{2}=+\infty

Infatti in questo insieme la funzione non è limitata superiormente.

Considerando invece:

\inf _{x\in [0,1]}x^{2}=0

e anche:

\inf _{x\in (0,1)}x^{2}=0

in questo caso però $0$ non è il minimo dell'insieme, in quanto tale valore non esiste, come non esiste il minimo della funzione (è sul bordo del dominio).

Altri esempi sono:

\sup _{x\in \mathbb {R} }-\exp(-x)=0\qquad \sup _{x\in (-1,1)}{-x^{2}+1}=1

Funzioni monotone modifica

Come si è visto in uno degli esempi precedenti, esiste una connessione tra il concetto di estremo superiore e quello di limite. Sia $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ una funzione monotona in $(a,b)$ . Allora esistono: