Regola della funzione reciproca
In analisi matematica, la regola della funzione reciproca è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata del reciproco di una funzione derivabile.
Definizione modifica
La derivata del reciproco di una funzione è un rapporto avente come numeratore l'opposto della derivata della funzione e come denominatore il quadrato della funzione.
![{\displaystyle D\left[{\frac {1}{f(x)}}\right]={\frac {-f'(x)}{f(x)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de820aaee93707b2c694929de1302c9d81eb3a6)
dove e sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.
![{\displaystyle D[f(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a62e6fa818dc5f18ae0a8d668e9fec645aaa09)
È necessario che, nel punto in cui si calcola la derivata, la funzione non sia nulla.
Dimostrazione tramite il rapporto incrementale modifica
Scrivendo il rapporto incrementale della funzione otteniamo:
![{\displaystyle D\left[{1 \over g(x)}\right]=\lim _{h\to 0}{{1 \over g(x+h)}-{1 \over g(x)} \over h}=\lim _{h\to 0}{g(x)-g(x+h) \over g(x+h)g(x)}\cdot {1 \over h}=\lim _{h\to 0}{g(x)-g(x+h) \over h}\cdot {1 \over g(x+h)g(x)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af19450fd552326a1884641e884c50b39817c07)
Ora, l'argomento del primo limite è l'opposto del rapporto incrementale di
mentre il secondo fattore, per la continuità della "commuta" con l'operazione di limite, dunque si ha:
![{\displaystyle D\left[{1 \over g(x)}\right]=-g'(x)\cdot {1 \over g(x)g(x)}={-g'(x) \over g(x)^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f28f734cece127f5bd2d24b41bae1738475f46)
Alternativamente, utilizzando la regola della catena, ponendo possiamo determinare la derivata come:
![{\displaystyle D[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)=-g(x)^{-2}\cdot g'(x)={-g'(x) \over g(x)^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980ca83d5c6a4f61101ee1fb675008cfa5205d41)
Dimostrazione tramite la regola della catena modifica
Posto , ricordiamo che , e quindi
![{\displaystyle \displaystyle D\left[{\frac {1}{f(x)}}\right]=D\left[(g\circ f)(x)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2f8f1705472a1263bd14aec61bc7e805751d34)
Se applichiamo al secondo membro della precedente equazione la regola della catena (poiché ), otteniamo che
![{\displaystyle D\left[{\frac {1}{x}}\right]=-{\frac {1}{x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5fe2b0c797c1ad7cd186ef57ae417079b6307ab)
![{\displaystyle D\left[{\frac {1}{f(x)}}\right]=-{\frac {1}{f(x)^{2}}}\cdot D[f(x)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c2cc043e6b37c7c1c3491c15561e7694e9275c)
Dimostrazione tramite la regola del quoziente modifica
Applicando la regola del quoziente, consideriamo e dunque
![{\displaystyle D\left[{1 \over g(x)}\right]={D[1]\cdot g(x)-1\cdot g'(x) \over g(x)^{2}}={0\cdot g(x)-g'(x) \over g(x)^{2}}={-g'(x) \over g(x)^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63fa2000060283f4f16de3f54dfd07bd58220a8f)
