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In analisi matematica, la regola della catena è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione composta di due funzioni derivabili.

Indice

DefinizioneModifica

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna, per la derivata della funzione interna:

 

Le notazioni   e   indicano il medesimo significato di derivata.

La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:

 

è un vettore di   le cui componenti sono funzioni derivabili:

 

e se   è una funzione differenziabile in  , allora la funzione composta:

 

è differenziabile nella variabile   e si ha:

 

dove   è il gradiente di   e   è il prodotto scalare euclideo standard.

Ad esempio, se   è una funzione di due variabili composta dopo la funzione vettoriale  , cioè  , allora:

 

Inoltre, se   e   sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:

 

dove   è la moltiplicazione di matrici e   è la matrice jacobiana di  .

DimostrazioneModifica

Sia, per non appesantire la notazione,  , da cui  . Definiamo ora

 

È dunque

 .

Inoltre, per l'ipotesi di derivabilità di  , è

 .

Esaminiamo ora il rapporto incrementale di  :

 
 .

Spezzando la frazione, abbiamo

 

E quindi passando al limite

  cvd.

Dimostrazione con "o" piccoloModifica

Si considerino due funzioni   e la funzione composta   allora è possibile scrivere i rapporti incrementali delle funzioni in questo modo:

  •  
  •  
  •  

A questo punto si passa alla riscrittura di   tenendo conto che   quindi si ha:

 

Si ricorda che   quindi si ha:

 

Da cui si opera una sostituzione   ed   e si scrive:

 

Da qui chiamo   ed inoltre  

Il teorema è dimostrato

OsservazioniModifica

 

che è utile per fissare mnemonicamente il risultato (come se il   si "semplificasse" nelle due frazioni), anche se ovviamente non costituisce una dimostrazione.

  • Applicando la formula iterativamente si può calcolare la derivata di una composizione di tre o più funzioni. Ad esempio:
 

e così via.

EsempioModifica

Sia  ,  ,  . Allora:

 

e

 

Derivate successiveModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Formula di Faà di Bruno.

L'estensione della formula al calcolo delle derivate successive si deve a Faà di Bruno. In particolare, se   possiedono tutte le derivate necessarie, allora risulta:

 
 

Voci correlateModifica

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