Regola della catena

regola di derivazione di una funzione composta

In analisi matematica, la regola della catena è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione composta di due funzioni derivabili.

DefinizioneModifica

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna, per la derivata della funzione interna:

 

Le notazioni   e   indicano il medesimo significato di derivata.

La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:

 

è un vettore di   le cui componenti sono funzioni derivabili

 

e se   è una funzione differenziabile in  , allora la funzione composta

 

è differenziabile nella variabile   e si ha:

 

dove   è il gradiente di   e   è il prodotto scalare euclideo.

Ad esempio, se   è una funzione di due variabili composta dopo la funzione vettoriale  , cioè  , allora:

 

Inoltre, se   e   sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:

 

dove   è la moltiplicazione di matrici e   è la matrice jacobiana di  .

DimostrazioneModifica

Sia, per non appesantire la notazione,  , da cui  . Definiamo ora

 

È dunque

 

Inoltre, per l'ipotesi di derivabilità di  , è

 

Esaminiamo ora il rapporto incrementale di  :

 

Spezzando la frazione, abbiamo

 

E quindi passando al limite

 

Dimostrazione alternativaModifica

Siano   e   derivabili in ogni punto, dove  .

Dalla definizione di derivata si ha

 

L'idea di fondo è dividere il numeratore del rapporto incrementale per   in modo da ottenere il rapporto incrementale di   calcolato nel punto  , e quindi poter esprimere la derivata della funzione composta in funzione della derivata di   calcolata in  . Moltiplichiamo e dividiamo (che equivale a moltiplicare per  , preservando l'uguaglianza), il secondo membro per  :

 

Per le proprietà associativa e commutativa del prodotto otteniamo:

 

Poiché per ipotesi   e   sono derivabili, esistono i limiti dei rapporti incrementali, rispettivamente   e  , in qualsiasi punto del dominio; ma per questo, dopo aver applicato nel primo limite del rapporto incrementale la sostituzione  , il limite del prodotto di quei rapporti incrementali è uguale al prodotto dei loro limiti presi separati:

 


Dimostrazione con "o" piccoloModifica

Si considerino due funzioni   e la funzione composta   allora è possibile scrivere i rapporti incrementali delle funzioni in questo modo:

  •  
  •  
  •  

A questo punto si passa alla riscrittura di   tenendo conto che   quindi si ha:

 

Si ricordi che   quindi si ha:

 

Si effettua la sostituzione   e   e si scrive:

 

Si pone   e inoltre   così il teorema è dimostrato.

OsservazioniModifica

 

poiché  , che è utile per fissare mnemonicamente il risultato (come se il   si "semplificasse" nelle due frazioni), anche se ovviamente non costituisce una dimostrazione.

  • Applicando la formula iterativamente si può calcolare la derivata di una composizione di tre o più funzioni. Ad esempio:
 

e così via.

EsempioModifica

Sia  ,  ,  . Allora:

 

e

 

Derivate successiveModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Formula di Faà di Bruno.

L'estensione della formula al calcolo delle derivate successive si deve a Faà di Bruno. In particolare, se   possiedono tutte le derivate necessarie, allora risulta:

 
 

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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