Spirale archimedea

tipo di curva piana
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Un esempio quotidiano di spirale di Archimede è una corda arrotolata per terra, dove ogni spira ha la medesima larghezza

Una spirale archimedea o spirale di Archimede, così chiamata dal nome del famoso matematico siracusano Archimede, è una curva che può essere descritta in coordinate polari dalla seguente equazione:

con a e b numeri reali e b strettamente positivo. La modifica del parametro a ruota la spirale, mentre b controlla la distanza fra i bracci.

La spirale di Archimede si distingue dalla spirale logaritmica per il fatto che i bracci successivi hanno una distanza fissa (uguale a se è misurato in radianti), mentre in una spirale logaritmica le distanze seguono una progressione geometrica.

Questa spirale archimedea ha due bracci, uno per e uno per . I due bracci hanno un raccordo liscio all'origine. Un braccio si ottiene dall'altro costruendo la sua immagine speculare rispetto ad un opportuno asse.

Talvolta il termine spirale di Archimede è usato per un gruppo più generale di spirali:

La normale spirale archimedea si ottiene per . Altre spirali che ricadono in questo gruppo sono la spirale iperbolica (), la spirale di Fermat (), e il lituo (). Quasi tutte le spirali che si trovano in natura sono spirali logaritmiche, e non di Archimede.

Equazione parametricaModifica

La rappresentazione parametrica della spirale archimedea, al variare del parametro   in  , è data da

 

con a e b reali e b strettamente positivo.

CuriositàModifica

Il problema della rettificazione della circonferenza, che tanti sforzi costò agli antichi geometri, fu risolto anche da Archimede, introducendo una nuova curva, oltre a quelle generabili con il solo uso di riga e compasso. Questa era proprio la sua spirale. Egli riuscì a produrre un risultato che se si pensa agli strumenti matematici dell'epoca ha dell'incredibile.

Si consideri il cosiddetto primo cerchio di Archimede[1] (si veda la figura a lato). Si tracci la retta s normale al raggio AH del primo cerchio e passante per l'origine della spirale A. Si consideri, poi, la retta tangente alla spirale in H che interseca la retta s in un punto che chiamiamo F. Archimede dimostra che il segmento FA è la rettificazione della circonferenza del cerchio di raggio AH[2]. Così facendo, Archimede, sposta il problema della rettificazione della circonferenza a quello di tracciare la tangente alla spirale, cosa che con il solo uso di riga e compasso è impossibile.

NoteModifica

  1. ^ Per primo cerchio si intende il cerchio generato dal raggio vettore della spirale dopo una rotazione completa.
  2. ^ Nell'opera Sulle spirali, si legge,
    PROPOSIZIONE 18: Se una linea retta è tangente ad una spirale, nella prima rotazione, nel termine [H] della spirale stessa e se dal punto che è principio della spirale si conduce una retta perpendicolare alla retta principio della rotazione, la [retta] così condotta incontra la tangente e il segmento di retta compreso fra la tangente e il principio della spirale sarà uguale alla circonferenza del primo cerchio.

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