Spirale archimedea

Una spirale archimedea o spirale di Archimede, così chiamata dal nome del matematico Archimede, è una curva che può essere descritta in coordinate polari $(r,\theta )$ dalla seguente equazione:

r(\theta )=a+b\theta ,

con $a$ e $b$ numeri reali e $b$ strettamente positivo. La modifica del parametro $a$ ruota la spirale, mentre $b$ controlla la distanza fra i bracci.

La spirale di Archimede si distingue dalla spirale logaritmica per il fatto che i bracci successivi hanno una distanza fissa (uguale a $2\pi b$ se $\theta$ è misurato in radianti), mentre in una spirale logaritmica le distanze seguono una progressione geometrica.

Questa spirale archimedea ha due bracci, uno per $\theta >-a/b$ e uno per $\theta <-a/b$ . I due bracci hanno un raccordo liscio all'origine. Un braccio si ottiene dall'altro costruendo la sua immagine speculare rispetto a un opportuno asse.

Talvolta l'espressione «spirale di Archimede» è usato per un gruppo più generale di spirali:

r(\theta )=a+b\theta ^{1/x}.

La normale spirale archimedea si ottiene per $x=1$ . Altre spirali che ricadono in questo gruppo sono la spirale iperbolica ( $x=-1$ ), la spirale di Fermat ( $x=2$ ), e il lituo ( $x=-2$ ). Quasi tutte le spirali che si trovano in natura sono spirali logaritmiche, e non di Archimede.

Equazione parametrica

La rappresentazione parametrica della spirale archimedea, al variare del parametro $\theta$ in ${\biggl [}-{\frac {a}{b}},+\infty {\biggr )}$ , è data da

{\begin{cases}x(\theta )=(a+b\theta )\cos \theta \\y(\theta )=(a+b\theta )\sin \theta ,\end{cases}}

con $a$ e $b$ numeri reali e $b$ strettamente positivo.

Curiosità

Il problema della rettificazione della circonferenza, che tanti sforzi costò agli antichi geometri, fu risolto anche da Archimede, introducendo una nuova curva, oltre a quelle generabili con il solo uso di riga e compasso. Questa era proprio la sua spirale. Egli riuscì a produrre un risultato che se si pensa agli strumenti matematici dell'epoca ha dell'incredibile.

Si consideri il cosiddetto primo cerchio di Archimede^[1] (si veda la figura a lato). Si tracci la retta $s$ normale al raggio $AH$ del primo cerchio di centro $A$ e passante per l'origine della spirale. Si consideri, poi, la retta tangente alla spirale in $H$ che interseca la retta $s$ in un punto che chiamiamo $F.$ Archimede dimostra che il segmento $FA$ è la rettificazione della circonferenza del cerchio di raggio $AH$ ^[2]. Così facendo, Archimede, sposta il problema della rettificazione della circonferenza a quello di tracciare la tangente alla spirale, cosa che con il solo uso di riga e compasso è impossibile.

Note

^ Per primo cerchio si intende il cerchio generato dal raggio vettore della spirale dopo una rotazione completa.
^ Nell'opera Sulle spirali, si legge,
PROPOSIZIONE 18: Se una linea retta è tangente ad una spirale, nella prima rotazione, nel termine [H] della spirale stessa e se dal punto che è principio della spirale si conduce una retta perpendicolare alla retta principio della rotazione, la [retta] così condotta incontra la tangente e il segmento di retta compreso fra la tangente e il principio della spirale sarà uguale alla circonferenza del primo cerchio.