Superficie browniana
Una superficie Browniana è una superficie frattale generata tramite una funzione frattale.[1][2][3]
Come per il moto Browniano, le superfici Browniane prendono il nome dal biologo inglese del XIX secolo Robert Brown.
Esempio modifica
Ad esempio, nel caso tridimensionale, in cui due variabili X e Y sono indicate come coordinate, la funzione Brawniana tra due punti qualsiasi ( x 1, y 1 ) e ( x 2, y 2 ) può essere calcolata per ottenere un valore medio (o atteso) che aumenta all'aumentare della distanza vettoriale tra ( x 1, y 1 ) e ( x 2, y 2 ).[1] Vi sono, tuttavia, molti modi per definire la funzione. Ad esempio può essere utilizzato il moto Browniano frazionario variabile, oppure utilizzare varie funzioni di rotazione per ottenere superfici dall'aspetto più naturale.[2]
Generazione di superfici Browniane frazionarie modifica
Per generare efficientemente superfici frazionarie Browniane si presentano significative difficoltà.[4] Poiché la superficie Browniana rappresenta un processo gaussiano con una funzione di covarianza non stazionaria, si può usare il metodo di decomposizione di Cholesky. Un metodo più efficiente è il metodo di Stein,[5] che genera un processo gaussiano stazionario ausiliario usando l'approccio di incorporamento circolare e quindi regola questo processo ausiliario per ottenere il processo gaussiano non stazionario desiderato. La figura seguente mostra tre modelli di tipiche superfici frazionarie Browniane, per valori diversi della rugosità o del parametro di Hurst. Questo parametro è sempre compreso tra zero e uno; i valori più vicini a uno corrispondono a superfici più lisce. Queste superfici sono state generate usando un'implementazione di Matlab[6] del metodo di Stein.
Note modifica
- ^ a b John C. Russ, Fractal surfaces, Volume 1, 1994, p. 167, ISBN 0-306-44702-9.
- ^ a b Heping Xie, Fractals in rock mechanics, 1993, p. 73, ISBN 90-5410-133-4.
- ^ Tamás Vicsek, Fractal growth phenomena, 1992, p. 40, ISBN 981-02-0668-2.
- ^ Kroese, D.P. e Botev, Z.I., Spatial Process Generation, in Lectures on Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields, Volume II: Analysis, Modeling and Simulation of Complex Structures, Springer-Verlag, Berlin, 2015, pp. 369–404, Bibcode:2013arXiv1308.0399K, DOI:10.1007/978-3-319-10064-7_12, arXiv:1308.0399.
- ^ Stein, M. L., Fast and exact simulation of fractional Brownian motion, in Journal of Computational and Graphical Statistics, vol. 11, n. 3, 2002, pp. 587–599, DOI:10.1198/106186002466.
- ^ (EN) Fractional Brownian field or surface generator - File Exchange - MATLAB Central, su au.mathworks.com. URL consultato il 13 dicembre 2019.