Superficie normale

In geometria, le superfici normali costituiscono uno strumento importante per l'analisi delle 3-varietà. Furono introdotte dal matematico tedesco Hellmuth Kneser negli anni trenta nella dimostrazione della prima parte del teorema di Kneser-Milnor. La teoria delle superfici normali fu sviluppata successivamente da Wolfgang Haken.

Definizione

Una superficie normale interseca ogni tetraedro della triangolazione in triangoli e quadrati di questo tipo. Esistono 4 tipi di triangoli (uno per ogni vertice) e 3 di quadrati (uno per ogni coppia di spigoli opposti).

Sia $M$ una 3-varietà chiusa, dotata di una triangolazione. Una superficie normale è una superficie contenuta in $M$, che interseca ogni simplesso della triangolazione in triangoli o quadrati, come in figura.

La superficie può intersecare ogni singolo tetraedro in un numero variabile di triangoli e/o quadrati di questo tipo.

La definizione è ovviamente fortemente dipendente dalla triangolazione fissata sulla 3-varietà: una superficie può essere normale rispetto ad una triangolazione, e non esserlo rispetto ad un'altra.

Proprietà

Le superfici normali permettono di studiare le superfici più importanti contenute in una 3-varietà in modo combinatorio e algoritmico.

Superfici incompressibili ed essenziali

Fra le superfici normali si trovano molte superfici importanti. I casi più rilevanti sono i seguenti:

1. Se la 3-varietà non è irriducibile, esiste almeno una superficie normale che è una sfera non bordante una palla.
2. Se la 3-varietà è irriducibile, ogni superficie incompressibile è isotopa ad una superficie normale.

Codifica

Le superfici normali possono essere agevolmente codificate. Ogni tetraedro ha infatti 4 tipi possibili di triangoli (uno per ogni vertice) e 3 tipi di quadrati (uno per ogni coppia di spigoli opposti). L'intersezione di una superficie con un simplesso è quindi determinata da sette valori $z_{1},z_{2},\ldots z_{7}$, indicanti il numero di triangoli e quadrati paralleli di ogni tipo. Una superficie normale è quindi determinata da $7n$ interi non negativi, dove $n$ è il numero di tetraedri nella triangolazione.

Non tutte le possibili scelte di $7n$ interi non negativi danno luogo ad una superficie normale. Sono necessarie le seguenti condizioni:

1. Il numero totale di triangoli e quadrati adiacenti ad uno spigolo della triangolazione deve essere lo stesso per tutti i tetraedri incidenti. Questa condizione è scrivibile con equazioni lineari nelle $z_{i}$.
2. La superficie non si auto-interseca: ogni tetraedro deve contenere quadrati dello stesso tipo, e non di più tipi diversi (poiché questi si intersecano).

Voci correlate

• superficie incompressibile
• 3-varietà irriducibile