3-varietà
In geometria, una 3-varietà è una varietà differenziabile di dimensione 3. Informalmente, si tratta di un "possibile universo": uno spazio con 3 dimensioni che è localmente simile allo spazio tridimensionale come è percepito dall'essere umano, la cui struttura globale può però essere molto differente e di difficile intuizione.

Lo studio delle 3-varietà è un ramo importante della topologia della dimensione bassa. Ha forti connessioni con la teoria dei nodi e la geometria iperbolica. Gli strumenti usati nello studio delle 3-varietà sono molteplici: tra questi, il gruppo fondamentale (che cattura gran parte della struttura della varietà), lo studio delle superfici (in particolare le superfici incompressibili) e la geometria iperbolica.
DefinizioneModifica
Una 3-varietà è una varietà differenziabile oppure topologica di dimensione 3. L'aggettivo "topologica" o "differenziabile" è usato, quando necessario, per specificare di quale varietà si tratta; in verità, la differenza fra le due nozioni in dimensione 3 è minima: una varietà differenziabile è anche topologica (questo è valido in tutte le dimensioni), e viceversa ogni varietà topologica può essere dotata di un'unica struttura differenziabile a meno di diffeomorfismo (questo è valido solo in dimensione 2 e 3). Per questo motivo, l'aggettivo è generalmente omesso.
Analogamente, una 3-varietà con bordo è una varietà con bordo di dimensione 3. Spesso anche una 3-varietà con bordo è chiamata semplicemente 3-varietà.
EsempiModifica
Dentro lo spazio euclideoModifica
Lo spazio euclideo è una 3-varietà. Ogni sottoinsieme aperto dello spazio euclideo è anch'esso una 3-varietà. Ad esempio, la palla
oppure il complementare di un nodo.
Lo spazio tridimensionale contiene anche molte 3-varietà con bordo. Ad esempio, il disco chiuso
il cui bordo è la sfera bidimensionale
oppure il toro solido, il cui bordo è il toro. Più in generale, un corpo con manici, il cui bordo è una superficie orientabile di genere arbitrario.
Lo spazio euclideo non contiene però varietà chiuse, cioè compatte e senza bordo.
SferaModifica
La 3-varietà più semplice che non sia contenuta nello spazio euclideo è la sfera tridimensionale (a volte chiamata ipersfera)
Si tratta di una 3-varietà chiusa semplicemente connessa.
Spazi lenticolariModifica
Gli spazi lenticolari sono le 3-varietà chiuse aventi gruppo fondamentale più semplice. Lo spazio lenticolare è una 3-varietà definita come spazio quoziente di tramite un'azione del gruppo ciclico . Lo spazio è definito per ogni coppia di interi coprimi . Si tratta di una varietà chiusa, il cui gruppo fondamentale è .
Per la 3-varietà è la sfera , mentre per si tratta dello spazio proiettivo reale tridimensionale .
ToroModifica
Un'altra 3-varietà che generalizza varietà di dimensione inferiore è il toro tridimensionale
Il suo gruppo fondamentale è . Più in generale, il prodotto di una superficie con la circonferenza è una 3-varietà con gruppo fondamentale infinito.
VisualizzazioneModifica
Una superficie può essere agevolmente visualizzata tramite un disegno, e se è orientabile può essere descritta interamente all'interno dello spazio tridimensionale. Inoltre è descritta a meno di omeomorfismo semplicemente dal suo genere.
Descrivere e visualizzare una 3-varietà è più difficile. Non esiste una semplice generalizzazione della nozione di genere, che possa classificarle agevolmente. Esistono quindi varie tecniche per costruire e descrivere completamente una 3-varietà.
TriangolazioneModifica
Ogni 3-varietà compatta ammette una triangolazione. Può quindi essere descritta in modo combinatorio, da una lista di dati che descrivono i tetraedri e i modi in cui le facce triangolari di questi sono identificate a coppie. Questa descrizione combinatoria è stata usata a partire dagli anni ottanta in vari programmi al computer.
Chirurgia di DehnModifica
Un link in (più precisamente, in ), in cui ogni componente ha un numero razionale assegnato, descrive una 3-varietà. Questa è la varietà ottenuta tramite chirurgia di Dehn effettuata sul link: la chirurgia consiste nel rimuovere attorno ad ogni componente del link un toro solido, ottenuto "ingrassando" lievemente la componente (il toro solido è un piccolo intorno tubolare di questa), e rincollare il toro solido lungo una mappa differente. La scelta della mappa dipende dal numero razionale.
Diagramma di HeegaardModifica
Ogni 3-varietà è ottenibile incollando due corpi con manici e aventi lo stesso genere lungo il bordo, tramite un omeomorfismo
Questa costruzione è detta decomposizione di Heegaard. La decomposizione può essere descritta disegnando e specificando sul suo bordo alcune curve che bordano un disco all'interno di .
Decomposizione e geometrizzazioneModifica
Per il teorema di uniformizzazione di Riemann, ogni superficie ammette una struttura di varietà riemanniana completa con curvatura sezionale costante +1, 0 o -1. Ogni superficie ha quindi una struttura di varietà ellittica, piatta o iperbolica completa.
Una analoga uniformizzazione esiste anche per le 3-varietà: congetturata da William Thurston all'inizio degli anni ottanta, è stata dimostrata da Grigori Perelman nel 2002. La geometrizzazione di Thurston asserisce che ogni 3-varietà si decompone lungo sfere e tori in pezzi che ammettono una metrica omogenea. La decomposizione lungo sfere e tori, nota già negli anni settanta, consiste nel teorema di Kneser-Milnor per la somma connessa (le sfere) e nella decomposizione JSJ (i tori).
Lungo sfereModifica
La decomposizione lungo sfere è enunciata dal teorema di Kneser-Milnor. Il teorema asserisce che il comportamento delle 3-varietà rispetto all'operazione di somma connessa è simile al comportamento dei numeri interi rispetto al prodotto: si tratta in effetti dell'analogo del teorema fondamentale dell'algebra.
Il teorema asserisce che ogni 3-varietà orientabile e chiusa ammette un'unica scrittura come somma connessa
di varietà prime, cioè varietà che non si scrivono a loro volta come somma connessa non banale.
Lungo toriModifica
La decomposizione lungo tori è nota con il nome di decomposizione JSJ, dal nome dei matematici Jaco, Shalen e Johannson che l'hanno descritta negli anni 70. Ogni 3-varietà prima contiene un insieme di tori incompressibili disgiunti , con la proprietà che
- ogni altro toro incompressibile è disgiunto da questi dopo una opportuna isotopia,
- L'insieme è massimale rispetto alla proprietà 1.
GeometrizzazioneModifica
I tori della decomposizione JSJ separano una varietà prima in tanti blocchi. Ciascun blocco è una varietà compatta, il cui bordo è unione di tori disgiunti. La congettura di geometrizzazione di Thurston asserisce che la parte interna di ciascuno di questi blocchi ammette una metrica riemanniana omogenea. Esistono in dimensione tre 8 tipi metriche riemanniane di questo tipo: 3 di queste sono la geometrie ellittica, piatta e iperbolica.
Congettura di PoincaréModifica
La congettura di Poincaré è un caso particolare della congettura di Thurston, ed è quindi stata dimostrata anch'essa da Perelman nel 2002. La congettura asserisce che è l'unica 3-varietà chiusa semplicemente connessa.
EsempiModifica
EllitticheModifica
Le 3-varietà chiuse ellittiche sono precisamente tutte le 3-varietà con gruppo fondamentale finito. Tra queste, la sfera, lo spazio proiettivo, e più generalmente ogni spazio lenticolare. Più in generale, una tale varietà è ottenuta come quoziente di tramite un gruppo di isometrie di che agisce in modo libero e propriamente discontinuo. Il gruppo delle isometrie di è il gruppo ortogonale speciale , e tutti i suoi sottogruppi di questo tipo sono stati classificati da John Milnor negli anni sessanta.
IperbolicheModifica
Lo studio delle 3-varietà iperboliche, emerso con i lavori di Thurston a partire dalla fine anni settanta, è considerato di gran lunga più interessante fra i matematici. Fra le 8 geometrie omogenee, quella iperbolica si mostra infatti come la più ricca. Mentre le varietà della altre 7 geometrie sono già state classificate dagli anni cinquanta, non esiste ancora una classificazione soddisfacente delle varietà iperboliche.
Una 3-varietà iperbolica è ottenuta come quoziente dello spazio iperbolico tramite un gruppo di isometrie che agisce in modo libero e propriamente discontinuo. Il gruppo delle isometrie che preservano l'orientazione di è isomorfo al gruppo delle trasformazioni di Möbius, un gruppo importante in analisi complessa e geometria proiettiva.
PiatteModifica
La varietà ammette (come ogni prodotto di un numero arbitrario di circonferenze) una struttura di varietà piatta; è ottenuta quozientando lo spazio euclideo tramite il gruppo di isometrie dato dalle traslazioni intere sui tre assi.
Altre geometrieModifica
La varietà ottenuta come prodotto di una superficie di genere maggiore di uno e di una circonferenza ammette una delle 5 metriche omogenee rimanenti.
BibliografiaModifica
- William Jaco, Lectures on 3-manifold topology, ISBN 0-8218-1693-4.
- William Thurston, Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1, Princeton Mathematical Series, n. 35, Princeton University Press, 1997, ISBN 0-691-08304-5.
Voci correlateModifica
Altri progettiModifica
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